由K倍動態減法聯想到的一類博弈問題 HDOJ 2580

給一堆石子，數量為n，先取的人最多能取n - 1個，之後每次最多能取上次對手取的石子的數量的k倍

當k = 1時必敗數列為（1， 2， 4， 8 ……），當n的二進位中不止一位為1時，我們每次取n的二進位的最低一非0位元量，那麼對手就絕對不能取完（因為高位的是地位的至少二倍），而對手不管取x為多少，假設x的最高位1為w，那麼取後剩餘石子n的w位或者w以下一定有1，那麼我們就又可以取最低一位1了，依次進行，只有自己才能勝利。相反n的二進位只有一位，而我們又不能取完，相當於自己不能取最後一位非0位，對手就能勝。

當k = 2時必敗數列為（斐波那契數列）（1，2， 3， 5， 8……），每個n都可以用數列中的不相鄰數字相加得到，假設有至少兩個數字（從小到大排序）（x1， x2……）相加，我們每次取最小的x1，因為x1，x2不相鄰，及x1，x2至少相隔1個數字，觀察斐波那契數列：隔1數位兩個數字大的是小的的至少兩倍。那麼對手絕對不能取完x2，對手取完後又得到一數字n1，依次進行，最後只有可能自己拿完石子。如果n及為數列中的數字，那麼該n只能由一個x1相加組成，這時候我們不能取完，及不能取走最小的數字，相當於對手的勝局。

當k = n時，我們就要構造自己的數列

首先失敗點為數列array（1），最大相加能組成的為max（1）

因為前面的array【i】最多能組成max【i】，max【i 】 + 1沒法由數列中的數字相加組成

我們可以建立一個點，array【i + 1】 = max 【i】+ 1，解決問題；

新加了一個節點後最大能組成的數字應該為max【j】 + array【i + 1】；

因為要滿足組成數字n的所有數字（x1， x2， x3……）相差至少k倍，所以array【j】滿足array【j】 * k < array【i + 1】；

我們求的是最大能表示的數字，這時候只需要j足夠大就可以了

很明顯，j是隨著失敗數列中的數位增多而增大的，由此最佳化演算法，避免逾時

HDOJ 2580 My Code

#include<stdio.h>__int64 max[3000001], array[3000001];int main(){__int64 n, k, i, j;int cases, ca = 0;scanf("%d", &cases);while(cases --){scanf("%I64d%I64d", &n, &k);array[0] = 0;max[1] = 1;array[1] = 1;i = 1;j = 1;while(array[i] < n){i ++;array[i] = max[i - 1] + 1;while(array[j] * k < array[i])j ++;j --;max[i] = max[j] + array[i];if(i == 100000)printf("");}if(array[i] == n)printf("Case %d: lose\n", ++ca);else{while(1){if(n == array[i]){printf("Case %d: %I64d\n", ++ca, array[i]);break;}if(n > array[i]){n -= array[i];}else{i --;}}}}return 0;}