馬後炮一篇 關於Futurama S06E10中的數學問題

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      時間要追溯到2013年9月，我看到過這樣一個有趣的問題，來源於matrix67的一篇博文。

那麼把題目摘錄一下：

“ 經典 Geek 動畫 Futurama 上周播出了第 6 季的第 10 集 The Prisoner of Benda 。在這一集中，教授 Farnsworth 發明了一種“心靈對換機”，它可以把兩個人的思想互相對換，使得 A 的大腦跑進 B 的身體裡，而 B 的大腦則跑到 A 的身體裡。 Farnsworth 和 Amy 都想得到對方的身體，便成為了這台機器的第一對實驗者。等到他們爽夠了想換回來後， Farnsworth 卻發現了一個嚴重的問題：已經互換過大腦的兩個身體不能再次進行大腦對換操作。但這並不表示兩個人完全沒有希望回到自己的身體裡—— Farnsworth 突然想到，或許可以用第三者作為一個臨時的大腦儲存空間，從而實現間接對換。正巧機器人 Bender 進了實驗室，於是（身為 Amy 的） Farnsworth 和 Bender 又坐上了機器，這下 Farnsworth 的大腦便跑到 Bender 身體裡了，而 Bender 的大腦則進了 Amy 的身體裡。此時 Farnsworth 才意識到，引入一個第三者是不夠的——再讓（身為 Bender 的） Farnsworth 和（身為 Farnsworth 的） Amy 互換大腦，可以讓 Farnsworth 恢複原狀，但同時 Amy 的大腦會跑到 Bender 的身體裡去；這樣 Bender 和 Amy 的身體正好顛倒了，而他們卻已不能再次使用機器。換句話說，要想恢複兩個換位了的大腦，需要引入不止一個新的人。

但現在，問題已經變得更加複雜了——這下已經產生了三個大腦位置錯亂的人。大家很容易聯想到一個更一般的問題：給定 n 個人以及他們之前使用“心靈對換機”的記錄，至少得引入多少個新的人，才能讓所有人的大腦都“物歸原主”呢？”

條件需要注意的是：n個人兩兩之間可能都已經換過了，所以後續的交換隻能在新人和舊人，新人和新人之間互換。

在原先的文章裡，最後給出的解答是這樣的：

無論此前n個人的交換有多混亂，最後只需要引入兩個人，可以讓大家複原。

軀體：1  2  3  4  5  6  …  k-1  k

大腦：2  3  4  5  6  7  …   k   1

首先解答這樣一種特殊的情況

在2  3  4  5  6  …  k   1  的情況下，可以通過一種構造性的置換方法    

2  3  4  5  6  …  k   1  x  y  

x  3  4  5  6  …  k   1  2  y

x  y  4  5  6  …  k   1  2  3

x  y  3  5  6  …  k   1  2  4

x  y  3  4  6  …  k   1  2  5

x  y  3  4  5  …  k   1  2  6

… … …

x  y  3  4  5  … k-1  1  2  k

x  y  3  4  5  … k-1  k  2  1

x  2  3  4  5  … k-1  k  y  1

1  2  3  4  5  … k-1  k  y  x

1  2  3  4  5  … k-1  k  x y

但是如何面對一般的情形呢？

原文是這樣解釋的：

“注意到一個 1 到 n 的排列總能分解成若干個迴圈的乘積，對每個迴圈分別進行上述操作 ” 

我覺得這句話並沒有把這個解答解釋得比較充分，讓人不太明白，這是這篇文章比較遺憾的地方。

下面說一下我的思考吧

首先，引入這樣一個問題。

一個排列，每個數字i都不在第i個位置上，需要多少次交換，才能變換到1，2，3, ..., n-1, n

例如排列 2  4  1  3，最少需要3次交換。排列 2  1  4  3則只需要2次交換。

因為前者{1,2,3,4}構成了一個全亂環，後者{1，2}   {3, 4}構成了2個全亂環（額...全亂環，姑且這麼描述吧，暫時沒找到正規俗語-_-||）。

排列 1 3 4 2不是我們考慮的情形，因為1在第1個位置。

在一個大小為n的完全亂序環中，最少需要n-1次交換，才能還原。

我們暫時考慮這樣的排列：每個數字i都不在排列的第i個位置上，並且需要通過n-1次交換才能還原到1 2 3 4  ... n-1 n

如果只引入一個人x，策略是依次把1，2,3,4心靈換到身體上（紅色表示舊人和新人已經做過交換）

2  4  1  3  x

2  4 x  3  1

1  4  x  3  2

1  2  x  3  4

1  2  x  4 3

好，到這裡比較尷尬了，因為第一次5號身體和3號已經換過了所以不能再換了

怎麼辦？

那麼只好引入第2個救星了y。他的作用是先和裝有1號心靈的身體互換，避免x最後無法交換的困境

2  4  1  3   x  y

2  4  y  3   x  1

x 4  y  3   2  1

x  2  y  3   4  1

x  2  y  4   3  1    

只有x一個人時的困境不再了，3可以和y交換了      

x  2  3 4  y  1

1  2  3  4  y  x

1  2  3  4  x  y

總之，解決的辦法就是：

1）y先和1號心靈交換，

2）然後由x的身體把2，3，4，... n按照心靈的順序各歸其位，

3）再由y的身體把1號歸位，

4）最後x y互換。

於是，各歸其位，世界和平了。 ：D

 

等等，我們剛才說了排列中只有一個全亂環的情況，如果有多個全亂環呢？

其實很簡單，對每一個全亂環都用上述的方法單獨處理就行了。