計算幾何中的精度問題

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計算幾何頭疼的地方一般在於代碼量大和精度問題，代碼量問題只要平時注意積累模板一般就不成問題了。精度問題則不好說，有時候一個精度問題就可能成為一道題的瓶頸，簡直“畫龍點睛”。這些年的題目基本是朝著越來越不卡精度的方向發展了，但是也不乏一些%^&%題#$%$^，另外有些常識不管題目卡不卡，都是應該知道的。今天我就開膛回顧下見過且還有印象的精度問題，由於本人見識和記憶均有限，望各位大神瞄過後不吝補充。另外，為了彌補我匱乏的文思，我可能亂扯些不太相關或者盡人皆知的東西湊數。那麼，現在開始。   計算幾何的精度問題說到底其實是浮點數的精度問題，但我覺得“計算幾何”比“浮點數”更能吸引眼球，所以選了這個標題。   1.浮點數為啥會有精度問題： 浮點數(以C/C++為準)，一般用的較多的是float, double。   占位元組數 數值範圍 十進位精度位元 float 4 -3.4e-38～3.4e38 6~7 double 8 -1.7e-308～1.7e308 14~15 如果記憶體不是很緊張或者精度要求不是很低，一般選用double。14位的精度(是有效數字位，不是小數點後的位元)通常夠用了。注意，問題來了，資料精度位元達到了14位，但有些浮點運算的結果精度並達不到這麼高，可能準確的結果只有10~12位左右。那低幾位呢？自然就是不可預料的數字了。這給我們帶來這樣的問題：即使是理論上相同的值，由於是經過不同的運算過程得到的，他們在低幾位有可能(一般來說都是)是不同的。這種現象看似沒太大的影響，卻會一種運算產生致命的影響: ==。恩，就是判斷相等。注意，C/C++中浮點數的==需要完全一樣才能返回true。來看下面這個例子: #include<stdio.h> #include<math.h> int main() {    double a = asin(sqrt(2.0) / 2) * 4.0;    double b = acos(-1.0);    printf("      a = %.20lf/n", a);    printf("      b = %.20lf/n", b);    printf(" a - b = %.20lf/n", a - b);    printf("a == b = %d/n", a == b);    return 0; } 輸出：       a = 3.14159265358979360000       b = 3.14159265358979310000  a - b = 0.00000000000000044409 a == b = 0 我們解決的辦法是引進eps，來輔助判斷浮點數的相等。   2. eps        eps縮寫自epsilon，表示一個小量，但這個小量又要確保遠大於浮點運算結果的不確定量。eps最常見的取值是1e-8左右。引入eps後，我們判斷兩浮點數a、b相等的方式如下: 定義三出口函數如下: int sgn(double a){return a < -eps ? -1 : a < eps ? 0 : 1;} 則各種判斷大小的運算都應做如下修正: 傳統意義 修正寫法1 修正寫法2 a == b sgn(a - b) == 0 fabs(a – b) < eps a != b sgn(a - b) != 0 fabs(a – b) > eps a < b sgn(a - b) < 0 a – b < -eps a <= b sgn(a - b) <= 0 a – b < eps a > b sgn(a - b) > 0 a – b > eps a >= b sgn(a - b) >= 0 a – b > -eps 這樣，我們才能把相差非常近的浮點數判為相等;同時把確實相差較大(差值大於eps)的數判為不相等。 PS: 養成好習慣，盡量不要再對浮點數做==判斷。例如，我的修正寫法2裡就沒有出現==。   3. eps帶來的函數越界 如果sqrt(a), asin(a), acos(a) 中的a是你自己算出來並傳進來的，那就得小心了。 如果a本來應該是0的，由於浮點誤差，可能實際是一個絕對值很小的負數(比如1e-12),這樣sqrt(a)應得0的，直接因a不在定義域而出錯。 類似地，如果a本來應該是±1,則asin(a)、acos(a)也有可能出錯。 因此，對於此種函數，必需事先對a進行校正。   4. 輸出陷阱I 這一節和下一節一樣，都是因為題目要求輸出浮點數，導致的問題。而且都和四捨五入有關。 說到四捨五入，就再扯一下相關內容,據我所知有三種常見的方法: 1. printf(“%.3lf”, a);  //保留a的三位小數，按照第四位四捨五入 2. (int)a;  //將a靠進0取整 3. ceil(a); floor(a);   //顧名思義，向上取證、向下取整。需要注意的是，這兩個函數都返回double，而非int 其中第一種很常見於輸出(nonsense…)。 現在考慮一種情況,題目要求輸出保留兩位小數。有個case的正確答案的精確值是0.005,按理應該輸出0.01,但你的結果可能是0.005000000001(恭喜)，也有可能是0.004999999999(悲劇),如果按照printf(“%.2lf”, a)輸出，那你的遭遇將和括弧裡的字相同。 解決辦法是，如果a為正，則輸出a+eps, 否則輸出a-eps 典型案例: POJ2826   5. 輸出陷阱II ICPC題目輸出有個不成文的規定(有時也成文)，不要輸出: -0.000 那我們首先要弄清，什麼時候按printf(“%.3lf/n”, a)輸出會出現這個結果。 直接給出結果好了：a∈(-0.000499999……, -0.000……1) 所以，如果你發現a落在這個範圍內，請直接輸出0.000。更保險的做法是用sprintf直接判斷輸出結果是不是-0.000再予處理。 典型案例:UVA746   6. 範圍越界 這個嚴格來說不屬於精度範疇了，不過湊數還是可以的。請注意，雖然double可以表示的數的範圍很大，卻不是不窮大，上面說過最大是1e308。所以有些時候你得小心了，比如做連乘的時候，必要的時候要換成對數的和。 典型案例:HDU3558   7. 關於set<T> 有時候我們可能會有這種需求，對浮點數進行 插入、查詢是否插入過 的操作。手寫hash表是一個方法(hash函數一樣要小心設計)，但set不是更方便嗎。但set好像是按==來判重的呀？貌似行不通呢。經觀察,set不是通過==來判斷相等的，是通過<來進行的，具體說來，只要a<b 和 b<a 都不成立，就認為a和b相等，可以發現， 如果將小於定義成:      bool operator < (const Dat dat)const{return val < dat.val - eps;}就可以解決問題了。 (基本類型不能重載運算子，所以封裝了下)   8. 輸入值波動過大 這種情況不常見，不過可以協助你更熟悉eps。假如一道題輸入說，給一個浮點數a, 1e-20 < a < 1e20。那你還敢用1e-8做eps嗎？合理的做法是把eps按照輸入規模縮放到合適大小。 典型案例: HUSTOJ 1361   9. 一些建議 容易產生較大浮點誤差的函數有asin、 acos。歡迎盡量使用atan2。 另外，如果資料明確說明是整數，而且範圍不大的話，使用int或者long long代替double都是極佳選擇，因為就不存在浮點誤差了(儘管我幾乎從來都只用double --!)   內容有誤或其他遺漏內容的，過路大神們請不吝賜教~