ACM UVa 演算法題 #108 – Maximum Sum的解法

題目的Link在這裡：ACM UVa 108 - Maximum Sum

UVa 507和108其實是相關的。507是可以看作是一維的Maximum Interval Sum問題，而本題則是

任何一個n*m的Rectangle：

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
.....................
am1 am2 ... amn

可以看作一個一維的數組，其值為：( (a11+a12+...+a1n), (a21+a22+...+a2n), ..., (am1+am2+...+amn) )
於是求該Rectangle中最大n*k的Sub-Rectangle可以通過求該變換過的一維數組中的最大連續序列獲得。注意求得的結果是n*k的。那麼，對於二維數組中的每一行都可以有(1+n)*n/2種子序列，比如

a1,
a1, a2
a1, a2, ... an
a2,
a2, a3,
a2, a3, ... an
...
an-1, an
an

通過對每一個這樣的子序列求和，正如上面所說，可以把2維問題轉化為1維問題。

那麼最終的演算法的複雜度是多少呢？直覺上，求每行的i...j的子序列需要O(n^3)的複雜度（3層迴圈，一層i，一層j，一層從i+到j）再加上一維的從左往右的Scan共是O(n^4)。其實，求每行i..j的子序列不需要O(n^3)，注意到從i...j-1到i...j中間相差一個元素，因此可以通過利用上一次的計算的結果來累加的方式獲得，所以只需要O(n^2)就可以做到。於是最後的複雜度為O(n^3)。

代碼如下：

// 
// ACM UVa Problem #108
// http://acm.uva.es/p/v1/108.html
//
// Author:  ATField
// Email:   atfield_zhang@hotmail.com
//

#include "stdafx.h"

#include <iostream>
#include <cstdlib>

using namespace std;

#define MAX 105

int main(int argc, char *argv[])
...{
    int n;

    cin >> n;

    char r[MAX][MAX];

    for( int i = 0; i < n; ++i )
        for( int j = 0; j < n; ++j )
        ...{
            int num;
            cin >> num;
            r[i][j] = (char)num;
        }

    
    //
    // find max sub rectangle
    //

    int max = r[0][0];
    int max_column = 0;
    int max_span = 0;
    int max_row_start = 0;
    int max_row_end = 0;
    int sum[MAX];

    for( int column = 0; column < n; ++column)
    ...{
        for( int row = 0; row < n; ++row )
            sum[row] = 0;
        for( int span = 0; span < n - column; ++span )
        ...{
            int current = 0;
            int left = 0;
            
            for( int row = 0; row < n; ++row )
                sum[row] = sum[row] + r[row][column + span];

            for( int i = 0; i < n; ++i )
            ...{
                if( current < 0 )
                ...{
                    left = i;
                    current = 0;
                }

                current += sum[i];

                if( current > max )
                ...{
                    max = current;
                    max_row_start = left;
                    max_row_end = i;
                    max_column = column;
                    max_span = span;
                }
            }
        }
    }

    cout << max;
    
    return 0;
}

 

二維的Maximum Interval Sum問題，可以建立在一維的基礎上面解決。