acm——背包問題

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一、背包問題分類：

　　我覺得簡單的背包問題分為兩類：一是01背包問題：每個物品只有拿或者不拿兩種選項；另一種就是非01背包問題，每種物品的重量只要不超過背包的最大容量，可以拿任意多個。

　　背包問題還可以按照求最大或者最小分類；

　　還可以根據是否一定要充滿背包分成充滿和不充滿；

二、背包問題的一般遞推：

　　我只知道一種方法：假設我們要求價值最大的值；背包的容量為w；每件物品i的價值為val[i]，重量為vol[i]；我們先定義f[j]為背包容量為j時，所容物品的價值最大值；所以我們得到f[j]的遞推公式：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　f[j]=max(f[j],f[j-vol[i]]+val[i]);

　　當然我們不能馬上使用，要根據具體的情況選擇不同的方式表達。

　　1.首先是一般背包最大值問題，每種物品的重量只要不超過背包的最大容量，可以拿任意多個，同時需要充滿背包;

　　　　設有n件物品，背包的容量為w，每件物品i的價值為val[i]，重量為vol[i]，f[j]為背包容量為j時，所容物品的價值最大值；我們可以這麼寫：

for(i=1;i<=n;i++)        {            for(j=vol[i];j<=w;j++)            {                f[j]=max(f[j-vol[i]]+val[i],f[j]);            }        }

　　2.01背包最大值問題，每個物品只有拿或者不拿兩種選項，同時需要充滿背包；

　　　　設有n件物品，背包的容量為w，每件物品i的價值為val[i]，重量為vol[i]，f[j]為背包容量為j時，所容物品的價值最大值；我們可以這麼寫：

for(i=1;i<=n;i++)        {            for(j=w;j>=vol[i];j--)            {                f[j]=max(f[j-vol[i]]+val[i],f[j]);            }        }

　　　　這裡注意，因為是01背包問題，每件物品只能拿一件，所以j從w開始遞減，這樣保證了每件物品只拿一件。

　　　　同時注意，上面所說的開始時要初始化memset(f,0,sizeof(f))；如果背包不能充滿，則f[w]=0;

　　3.一般背包最大值問題，每種物品的重量只要不超過背包的最大容量，可以拿任意多個，同時不需要充滿背包；這裡只要一點點改動即可：

for(i=1;i<=n;i++)        {            for(j=vol[i];j<=w;j++)            {                m=max(f[j-vol[i]]+val[i],f[j]);                if(f[j]<m)                     f[j]=m;            }        }   

　　4.同理，01背包最大值問題，不需要充滿背包時：

for(i=1;i<=n;i++)        {            for(j=w;j>=vol[i];j--)            {                m=max(f[j-vol[i]]+val[i],f[j]);                if(m>f[j])                     f[j]=m;            }        }

　　求最小時，只要將上面的max換成min即可。

這裡，以hdu的兩道題為：

　　　　hdu2602

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;int main(){    int t,n,w,f[1001],vol[1001],val[1001] ,m,i,j;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        m=0;        memset(f,0,sizeof(f));        scanf("%d %d",&n,&w);        for(i = 1 ; i <= n ; i++)        scanf("%d",&val[i]);        for(i = 1 ; i <= n ; i++)        scanf("%d",&vol[i]);        for(i = 1 ; i <= n ; i++)        {            for(j = w ; j >= vol[i] ; j--)            {                m=f[j-vol[i]]+val[i];                if(f[j]<m)                    f[j]=m;            }        }        printf("%d\n",f[w]);    }    return 0;}

　　hdu1114

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))int main(){    int t,n,w,f[10010],vol[1001],val[1001] ,m,i,j,a,b;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        m=0;        scanf("%d %d",&a,&b);        w=b-a;        for(i=0;i<=w;i++)            f[i]=500000000;        scanf("%d",&n);        for(i=1;i<=n;i++)            scanf("%d%d",&val[i],&vol[i]);            f[0]=0;        for(i=1;i<=n;i++)        {            for(j=vol[i];j<=w;j++)            {                f[j]=min(f[j-vol[i]]+val[i],f[j]);            }        }        if(f[w]==500000000)            printf("This is impossible.\n");        else            printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",f[w]);    }    return 0;}

 

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