高等數學：第五章 定積分（1）概念與性質 中值定理 微積分基本公式_高等數學

§5.1  定積分的概念

一、從阿基米德的窮竭法談起

【引例】從曲線與直線，， 所圍圖形的面積。

 如圖：在區間  上插入  個等分點 ，得曲線上點 ，過這些點分別向軸，軸引垂線，得到階梯形。它們的面積分別為：

 

 

 

故可得到面積值為  

為了便於理解阿基米德的思想，我們先引入曲邊梯形的概念。

所謂曲邊梯形是指這樣的圖形，它有三條邊是直線段，其中兩條是平行的，第三條與前兩條垂直叫做底邊，第四條邊是一條曲線弧叫做曲邊，這條曲邊與任意一條垂直於底邊的直線至多隻交於一點。

根據這一定義，引例所求圖形的面積便是一個曲邊梯形的面積。運行程式gs0501.m，可更深刻地瞭解阿基米德窮竭法思想。

二、曲邊梯形的面積計算

設連續函數，求由曲邊，直線，及 軸所圍成的曲邊梯形的面積。

如圖，在區間上任意地插入個分點

區間分劃成  個小區間 ，且記小區間的長度為

過每個分點作平行於軸的直線段，這些直線段將曲邊梯形分劃成個窄小的曲邊梯形，用記第  個窄小的曲邊梯形的面積。

(由於曲邊梯形的高在上是連續變化的，在很短小的一段區間上它的變化也很小，即可近似地視為不變。因此，在每個小區間上，可用其中某一點的高來近似代替該小區間上小曲邊梯形的變化高，用相應的小矩形面積來近似小曲邊梯形的面積。)

具體地

對第  個窄小曲邊梯形，在其對應區間上任意地取一點，以作為近似高，以矩形面積近似。

即     

於是，

很明顯地

小區間的長度越小，近似程度就越好；要使得近似程度越好，只需都越來越小。因此，為了得到面積的精確值，我們只需將區間無限地細分，使得每個小區間的長度都趨向於零。

若記   ，則每個小區間的長度趨向於零價於 。

從而                                 (1)

三、變速直線運動的路程

設某物體作直線運動，已知速度是時間間隔上的連續函數，且，求物體在時間間隔內所經過的路程。

在時間間隔內任意地插入個分點

將分劃成個時間區間

各時間區間的長度依次為

記各時間區間內物體運動所經過的路程依次為

在時間間隔， 物體所經過的路程的近似值為

  

即：將物體在上的速度視為不變的，以來近似代替。很自然地，當這一時間間隔段很短時，這種近似是合理的。

於是可給出的近似值     

為得到的精確值， 只需讓每個小時間間隔段的長度均趨向於零。

若記  

則                                      (2)

上述兩例， 儘管其實際意義不同， 但有兩點是一致的。

1、曲邊梯形的面積值由高及的變化區間來決定；

變速直線運動的路程由速度及的變化區間來決定。

2、計算與的方法、步驟相同，且均歸結到一種結構完全相同的和式極限。

拋開這些問題的具體實際意義， 抓住它們在數量關係上共同的本質加以概括， 我們可給出定積分概念。

四、定積分的定義

設函數在上有界， 在中任意插入個分點

把區間分劃成  個小區間

各區間的長度依次為

在每個小區間上任取一點 ，

作函數值與小區間長度的乘積  

作和式 

記

若不論對區間上怎樣的分法，

也不論對小區間上的點怎樣的取法，

只要當時， 和總趨向於確定的值，

我們稱這個極限值為函數在區間上的定積分。

記作   

即  

其中叫做被積函數；叫做被積運算式；

   叫做積分變數；    叫做積分區間；

   叫做積分下限；        叫做積分上限；

 叫做在上的積分和式。

如果在上的定積分存在，我們就說在上可積。

對定積分的定義， 我們給出兩點重要的註解：

1、定積分的幾何意義

在上，時，表示由曲線，直線、與軸所圍成的曲邊梯形的面積。

在上，時，表示該曲邊梯形面積的負值。

因此，定積分是一個數值。

2、定積分與積分變數無關

由定積分的幾何意義可知：

定積分與被積函數及積分區間有關。

如果既不改變被積函數，也不改變積分區間 ，而只是將變數改寫成其它字母，如或，這時定積分的值仍不變。即有

五、定積分的存在定理

【定理一】設在區間上連續， 則在上可積。

【定理二】設在區間上有界， 且只有有限個間斷點， 則在上可積。

六、用定義求定積分的典型例子

【例1】  求 

解：是連續的，故 存在。

為便於計算， 將區間上分劃成等分 ， 即取分點為

這樣，小區間的長度為 ，再取 

積分和式為

將運算式寫成一個緊湊的形式：

從而

此例告訴我們這樣的資訊：

1、用定積分定義來計算定積分的確不方便，有必要尋找簡捷而有效計算方法；

2、，也反映了定積分幾何意義的正確性。

§5.2  定積分的性質、中值定理

規定：

1、時，

2、時，

這兩條規定的意義較直觀。

當時，曲邊梯形退縮成一段線， 故其面積應該為零；

當時，區間所對應的分點成為

相應的小區間的長度 。

此時，相對於，的符號應相反。

聲明：在下面的討論中， 對積分上下限的大小均不加以限制，並假定各性質中所列出的定積分均存在。

【性質一】函數的和(差)的定積分等於它們的定積分的和(差)。

即：   

證明：

顯然，性質一對於任意有限個函數也是成立的。

【性質二】被積函數的常數因子可以提到積分號外面。

即：       ( 是常數因子 )

證明：

【性質三】如果將積分區間分成兩部分， 則在整個區間上定積分等於這兩個區間上定積分之和。

 即：   ( * )

這一性質的幾何意義十分明顯。如圖，曲邊梯形的面積有：

此性質表明，定積分對於積分區間具有可加性。其實，無論三個數的相對位置如何，等式( * )總是成立的。

例如：當時， 有

【性質四】如果在區間上，，則。

【性質五】如果在區間上，，則 。

據定積分幾何意義，它是一個曲邊梯形真正的面積值，故它應為非負的。

【推論一】如果在區間上，，則

事實上， 由 ， 據 性質五 與 性質一 有

【推論二】

證明：

由推論一有： 

即：   

【性質六】設及分別是函數在區間上的最大值及最小值，

則     

證明：

則  

這一性質可用來估計定積分值的範圍，它也具有鮮明的幾何意義。

【性質七】( 定積分的中值定理 )

如果函數在閉區間上連續， 則在上至少存在一點，

使得   

證明：據性質六有

數值 介於連續函數在上的最小值與最大值之間， 再由閉區間上連續函數的介值定理， 在  上至少存在一點 ，使得

。

積分中值公式的幾何解釋

利用電腦編寫程式gs0502.m，對定積分

進行數值計算實驗，我們可驗證定積分中值定理的正確性。運行該程式時，注意建立被積函數的函數檔案f.m

§5.3  微積分基本公式

一、積分上限的函數及其導數

設函數在區間上連續，並設為上的一點，考察在部分區間上的積分

這一特殊形式的積分有兩點應該注意：

其一、因在連續，該定積分存在。此時，變數“ 身兼兩職 ”，既是積分變數，又是積分的上限。

為了明確起見，將積分變數改用其它符號如來表示，這是因為定積分與積分變數的選取無關。上面的定積分改寫成下述形式

其二、若上限在上任意變動，則對應於每一個取定，該定積分有一個對應值。所以，它在上定義了一個新的函數， 記作

稱為以積分上限為變數的函數( 簡稱變上限函數 )。

是否確有這類函數?

觀察一個例子,正態曲線在上的變上限函數為

它表示一個曲邊梯形的面積。運行程式gs0503.m，可分別作出，在上的圖象

這表明，確實是一個新的函數。

【定理一】如果函數在區間上連續， 則變上限函數

在上具有導數，且它的導數是

證明：當上限獲得增量時， 在處的函數值為

由此得函數的增量

據積分中值定理：

  在與之間

即： 

定理一表明：是的一個原函數。因此，我們便有下面原函數的存在性定理。

【定理二】如果函數在區間