高等數學：第五章 定積分（2）換元積分法 分部積分法 廣義積分_高等數學

§5.4  定積分的換元法

一、換元公式

【定理】若

1、函數在上連續；

2、函數在區間上單值且具有連續導數；

3、當在上變化時，的值在上變化，且

 ，  

則有

                          (1)

證明：

(1)式中的被積函數在其積分區間上均是連續， 故(1)式兩端的定積分存在。且(1)式兩端的被積函數的原函數均是存在的。

假設是在上的一個原函數，據牛頓—萊布尼茲公式有

另一方面， 函數的導數為

這表明： 函數是在上的一個原函數， 故有：

從而有    

對這一定理給出幾點註解：

1、用替換，將原來變數代換成新變數後，原定積分的限應同時換成新變數的限。

求出的原函數後，不必象不定積分那樣，將變換成原變數的函數，只需將新變數的上下限代入中然後相減即可。

2、應注意代換的條件，避免出錯。

(1)、在單值且連續；

(2)、

3、對於時， 換元公式(1)仍然成立。

 

【例1】求  

【解法一】 令 

當時，；當時，。

又當  時，有 

且變換函數 在上單值，在上連續，

由換元公式有

 

【解法二】令 

當時， ；  當時， 。

又當時， ，

且變換函數在上單值， 在上連續，

由換元公式有

注意：

在【解法二】中，經過換元，定積分的下限較上限大。

換元公式也可以反過來， 即

【例2】求

解：設，

當 時，；當  時，

 

一般來說，這類換元可以不明顯地寫出新變數，自然也就不必改變定積分的上下限。

二、常用的變數替換技術與幾個常用的結論

【例3】證明

1、若在上連續且為偶函數，則

2、若在上連續且為奇函數，則

證明：由定積分對區間的可加性有

  

對 作替換  得

故有

若為偶函數， 則 

若為奇函數， 則  

【例4】若在上連續， 證明：

1、

2、

並由此式計算定積分  

 

1、證明：設 ，

 

2、證明： 設 ，

  

 

 

【例5】求 

解：令 ，

故  

評註：

這一定積分的計算並未求原函數，只用到了變數替換、定積分性質，這一解法值得我們學習。

§5.5  定積分的分部積分法

設函數， 在區間上具有連續的導函數， 則

而         

故         

這就是定積分的分部積分公式。

也可寫成形式   

 

【例1】求 

解： 令  ，   ，  

當  時，  ； 當  時， 。

 

【例2】計算定積分  ( 為自然數 )。

解：設  ，                     

 ，     

 

這樣，我們得到了遞推公式，依此公式，再計算出兩個簡單的初值與，即可求得。

，       

當 為偶數，有

引入記號

同理，若為奇數，有

綜合便得到著名的華裡斯公式一

由於 ， 故

 

【例3】求  (  為自然數 )

解：令， 

當時，  ； 當  時， 

 

【例4】(華裡斯公式二)

 

證明：設 

當  時， 有

如果 為偶數， 則有

如果 為奇數，則

綜合得到著名而常用的華裡斯公式二

華裡斯公式的應用十分地廣泛，掌握好它可以方便地求許多定積分。

【例5】求 

解：應用華裡斯公式二， 有

  

§5.7  廣義積分

【引例】計算曲線 與軸的正半軸所圍的曲邊梯形的面積。

按照定積分的幾何意義，所求的曲邊梯形面積應為 。

顯然，這一積分再不是普通的定積分，因為它的積分上限是正無窮大。

該如何來求這一“新定積分”的值呢?首先用電腦來做一個數值實驗：

編程計算的值，並作出這些值的圖象，觀察圖象是否逼近於一條固定的直線。

請運行matlab程式gs0504.m。

一、積分區間為無窮區間的廣義積分

【定義一】

設函數在區間上連續， 任取 ，如果極限

存在，則稱此極限值為函數在無窮區間上的廣義積分，並記作,亦即

此時，也稱廣義積分收斂；

如果上述極限不存在， 則稱廣義積分發散。

類似地

設函數 在區間上連續，任取 ，如果極限

存在，則稱此極限值為函數在無窮區間上的廣義積分，

 記作 ，亦即

此時，也稱廣義積分  收斂；如果上述極限不存在， 則稱廣義積分發散。

類似地

設函數在區間上連續，如果廣義積分

 與 

同時收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數在無窮區間上的廣義積分，記作。

亦即

這時，也稱廣義積分 收斂；如果上述極限不存在，則稱廣義積分發散。

上述積分稱為無窮限的廣義積分。

【反例】 

但 

發散,因此，是發散的。

【例1】計算廣義積分 

解：

  

顯然，無窮限廣義積分就是任意有限區間上定積分的極限。

【例2】計算廣義積分 。

解：

   

觀察上述解題過程，極限符號直到最後才參與運算，為了方便，我們可以將之寫成如下形式：

請注意：將上下限代入原函數時，意味著取極限

這樣約定，並未改變無窮限廣義積分的實質，卻使記號簡潔了許多，且與定積分的計算程式基本上一致。

【例3】證明廣義積分當 時收斂； 當發散。

解：若 

   

若 

二 無界函數的廣義積分

【定義二】

設函數 在區間上連續， 且，取 ，

如果極限 存在，則稱此極限值為函數 在區間上的廣義積分，記作 。亦即

此時，也稱廣義積分收斂；如果上述極限不存在，則稱廣義積分發散。點稱之為奇點。

類似地，有

設函數 在區間上連續，且，取 ，如果極限存在，則稱此極限值為函數在區間上的廣義積分，記作 。亦即

此時， 也稱廣義積分收斂；如果上述極限不存在， 則稱廣義積分發散。點  稱之為奇點。

類似地， 又有

設函數在上除外均連續， 且，

如果兩個廣義積分  與   均收斂， 則定義廣義積分

否則稱廣義積分發散。點  稱之為奇點

註明：上式中的與