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這裡給出一些線性分數變換（Linear Fractional Transformations）的結論性描述，以方便對Klein Group的可視化。線性分數變換是黎曼幾何中非常重要的一種變換，它相當於歐氏空間中的線性變換。莫比烏斯曾經對它進行過系統研究並得出了許多非常有用的結論，所以又被叫做莫比烏斯變換（Mobius Transformations）。
1、代數方程
定義變換T： z -> (az + b) / (cz + d)為一個線性分數變換，其中a、b、c、d、z均為複數且ad - bc != 0。對於變換T可以馬上得到以下兩個結論：T(∞）= a / c以及T(-d / c) = ∞。如果把T寫成矩陣形式則為：| a b || || c d |令 D = ad - bc，叫做上面這個矩陣的determinant。其逆矩陣為：| d/D -b/D || || -c/D a/D |它相當於對矩陣的每個數乘上了一個係數 t = 1 / D，如果D為1的話，則t = 1，逆矩陣就只當不存在係數t了。我們從任意的正變換矩陣開始，求出D值，然後用t = 1 / sqrt(D)作為係數乘上該矩陣，這樣得到的新矩陣就有一個D = 1的determinant。也就是說，如果：
| a b |T = | | (其中, D = 1) | c d |
則其逆可以表示為 | d -b |T = | | (同樣, D = 1) | -c a |
由於有一個D = 1的方程了，所以，另外再給三個方程便可以唯一確定一個Mobius變換。也就是說，如果知道了三個不同點的變換結果，變換T就可以解出來。
當有一系列的變換放在一起並且滿足下面兩個條件的時候，我們可以得到群的概念：a) 如果S和T屬於這個群，則ST也屬於這個群；b) 如果S屬於這個群，則S-1也屬於這個群。
可以得出一個結論，Mobius變換集合是一個群。2、幾何和動力學特性我在開頭就說過，Mobius變換在黎曼幾何中的地位相當於歐氏幾何中的線性變換。所以，很多地方存在相似之處和相通之處。Mobius變換美麗的地方在於它把圓映射到另一個圓，進入的原料是圓或直線，出來的結果也是圓或直線。Mobius變換還是保角變換，也就是說，變換之前的角度在變換後保持不變。或者更進一步，Mobius具有保持方向的特性。再者是Mobius變換的不動點，求解方程T(z) = z便可以得出來，它實際上是一個一員二次方程，通常會有兩個解，不過這兩個解有可能會重合為一個。當D = 1時：z = { a - d ± sqrt[(a + d)^2 + 4] } / 2c把a + d叫做T的trace，並標記為TrT。在歐氏幾何中，線性變換通常有三類：translation、rotation、scaling，而Mobius變換也同樣有對應的三類：parabolic、elliptic、loxodromic。當係數是實數時候的loxodromic變換也被叫做hyperbolic變換。這裡的TrT = a + d就可以看出變換的類別。
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