演算法—8.有序數組中的二分尋找，演算法數組二分

演算法—8.有序數組中的二分尋找，演算法數組二分

1.具體演算法

/** * 演算法3.2 二分尋找（基於有序數組） * Created by huazhou on 2015/11/29. */public class BinarySearchST<Key extends Comparable<key>, Value> {    private Key[] keys;    private Value[] vals;    private int N;    public BinarySearchST(int capacity){        keys = (Key[])new Comparable[capacity];        vals = (Value[])new Object[capacity];    }    public int size(){        return N;    }    public boolean isEmpty() {        return size() == 0;    }    public Value get(Key key){        if(isEmpty()){            return null;        }        int i = rank(key);        if(i < N && keys[i].compareTo(key) == 0){            return vals[i];        }        else{            return null;        }    }    public int rank(Key key){        int lo = 0, hi = N-1;        while (lo <= hi) {            int mid = lo + (hi - lo) / 2;            int cmp = key.compareTo(keys[mid]);            if      (cmp < 0) hi = mid - 1;            else if (cmp > 0) lo = mid + 1;            else return mid;        }        return lo;    }    //尋找鍵，找到則更新值，否則建立新的元素    public void put(Key key, Value val){        int i = rank(key);        if(i < N && keys[i].compareTo(key) == 0){            vals[i] = val;            return;        }        for (int j = N; j > i; j--){            keys[j] = keys[j-1];            vals[j] = vals[j-1];        }        keys[i] = key;        vals[i] = val;        N++;    }    public void delete(Key key){        if (isEmpty()) return;        // compute rank        int i = rank(key);        // key not in table        if (i == N || keys[i].compareTo(key) != 0) {            return;        }        for (int j = i; j < N-1; j++)  {            keys[j] = keys[j+1];            vals[j] = vals[j+1];        }        N--;        keys[N] = null;  // to avoid loitering        vals[N] = null;        // resize if 1/4 full        if (N > 0 && N == keys.length/4) resize(keys.length/2);    }}

這段符號表的實現用兩個數組來儲存鍵和值。和基於數組的棧一樣，put()方法會在插入新元素前將所有較大的鍵向後移動一格。

rank()方法實現了本文所述的經典演算法來計算小於給定鍵的鍵的數量。它首先將key和中間鍵比較，如果相等則返回其索引；如果小於中間鍵則在左半部分尋找；大於則在右半部分尋找。

public Key min(){        return keys[0];    }    public Key max(){        return keys[N-1];    }    public Key select(int k){        return keys[k];    }    public Key ceiling(Key key){        int i = rank(key);        return keys[i];    }    public Key floor(Key key){        int i = rank(key);        if (i < N && key.compareTo(keys[i]) == 0) return keys[i];        if (i == 0) return null;        else return keys[i-1];    }    public boolean contains(Key key) {        return get(key) != null;    }    public Iterable<Key> keys(Key lo, Key hi){        Queue<Key> q = new Queue<Key>();        for (int i = rank(lo); i < rank(hi); i++){            q.enqueue(keys[i]);        }        if(contains(hi)){            q.enqueue(keys[rank(hi)]);        }        return q;    }

2.演算法分析

rank()的遞迴實現還能夠讓我們立即得到一個結論：二分尋找很快，因為遞迴關係可以說明演算法所需比較次數的上界。

命題：在N個鍵的有序數組中進行二分尋找最多需要（lgN+1）次比較（無論是否成功）。

證明：這裡的分析和對歸併排序的分析類似（但相對簡單）。令C(N)為在大小為N的符號表中尋找一個鍵所需進行的比較次數。顯然我們有C(0)=0，C(1)=1，且對於N>0我們可以寫出一個和遞迴方法直接對應的歸納關係式：

C(N)<=C(└N/2┘)+1

無論尋找會在中間元素的左側還是右側繼續，子數組的大小都不會超過└N/2┘，我們需要一次比較來檢查中間元素和被尋找的鍵是否相等，並決定繼續尋找左側還是右側的子數組。當N為2的冪減1時（N=2n-1），這種遞推很容易。首先，因為└N/2┘=2n-1-1，所以我們有：

C(2n-1)<=C(2n-1-1)+1

用這個公式代換不等式右邊的第一項可得：

C(2n-1)<=C(2n-2-1)+1+1

將上面這一步重複n-2次可得：

C(2n-1)<=C(20)+n

最後的結果即：

C(N)=C(2n)<=n+1<lgN+1

對於一般的N，確切的結論更加複雜，但不難通過以上論證推廣得到。二分尋找所需時間必然在對數範圍之內。

儘管能夠保證尋找所需的時間是對數層級的，BinarySearchST仍然無法支援我們用類似FrequencyCounter的程式來處理大型問題，因為put()方法還是太慢了。二分尋找減少了比較的次數但無法減少運行所需時間，因為它無法改變以下事實：

在鍵是隨機排列的情況下，構造一個基於有序數組的符號表所需要訪問數組的次數是數組長度的平方層級（在實際情況下鍵的排列雖然不是隨機的，但仍然很好地符合這個模型）。

命題：向大小為N的有序數組中插入一個新的元素在最壞情況下需要訪問~2N次數組，因此向一個空符號表中插入N個元素在最壞情況下需要訪問~N2次數組。

證明：同上命題。

3.總結

一般情況下二分尋找都比順序尋找快得多，它也是眾多實際應用程式的最佳選擇。當然，二分尋找也不適合很多應用。例如，它無法處理Leipzig Corpora資料庫，因為尋找和插入操作是混合進行的，而且符號表也太大了。如我們所強調的那樣，現代應用需要同時能夠支援高效的尋找和插入兩種操作的符號表實現。也就是說，我們需要在構造龐大的符號表的同時能夠任意插入（也許還有刪除）索引值對，同時也要能夠完成尋找操作。

 

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