演算法_dinic最大流

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網路流是什嗎？

不急我們慢慢來講。

首先我們先看看最大流1.背景

管道網路中每條邊的最大通過能力（容量）是有限的，實際流量不超過容量。最大流問題(maximum flow problem)，一種組合最佳化問題，就是要討論如何充分利用裝置的能力，使得運輸的流量最大，以取得最好的效果。求最大流的標號演算法最早由福特和福克遜與與1956年提出，20世紀50年代福特(Ford)、(Fulkerson)建立的“網路流理論”，是網路應用的重要組成成分。

2.定義（這很重要！！！）

1）源點：只有流出去的點

2）匯點：只有流進來的點

3）流量：一條邊上流過的流量

4）容量：一條邊上可供流過的最大流量

5）殘量：一條邊上的容量-流量

2.性質

1）對於任何一條流，總有流量<=容量（流經的邊的最小流量），即
\[flow<=min \left\{cur_{i}\right\}(cur_i\in flow_{now})\]
2）對於任何一條有向邊(u,v)，總有
\[cur(u,v)=-cur(v,u)\]

3.演算法思想（增廣路dinic）

1.找到一條從源點到匯點的路徑，使得路徑上任意一條邊的殘量>0（注意是小於而不是小於等於，這意味著這條邊還可以分配流量），這條路徑便稱為增廣路

2.找到這條路徑上最小的\(F[u][v]\)（我們設\(F[u][v]\)表示\(u->v\)這條邊上的殘量即剩餘流量），下面記為\(flow\)

3.將這條路徑上的每一條有向邊\(u->v\)的殘量減去\(flow\)，同時對於起反向邊\(v->u\)的殘量加上\(flow\)（為什麼呢？我們下面再講）

4.重複上述過程，直到找不出增廣路，此時我們就找到了最大流

這個圖很詳細的給出了增廣路的過程，其實這就是dinic演算法的思想

4.時間複雜度

dinic演算法其實就是一種暴力，時間複雜度
\[O(n^2m)\]
這其實十分暴力了，如果\(m=\frac{n(n-1)}{2}\)d的話，那麼時間複雜度將達到
\[O(\frac{n^3(n-1)}{2})\]
省略常數後也就是
\[O(n^4)\]
這是極其恐怖的複雜度，當然如果出題人不故意卡的話，一般沒什麼問題

5.代碼實現

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<queue>#define Maxn 1000001#define INF 0x7fffffff#define maxN 1000001#define maxM 1000001using namespace std;class Dinic{    private:        int cnt;//邊的數量，從0開始編號。        int head[Maxn];//每一個點最後一條邊的編號        int next[Maxn];//指向對應點的前一條邊        int v[Maxn];//每一條邊指向的點        int w[Maxn];//每一條邊的殘量        int n,s,t;//源點和匯點        int depth[Maxn];//分層圖中標記深度        void add_edge(int x,int y,int z){            next[++cnt]=head[x];            v[cnt]=y;            w[cnt]=z;            head[x]=cnt;            return;        }    public:        void init(int x,int y,int z){//初始化            n=x,s=y,t=z;            cnt=-1;            memset(head,-1,sizeof(head));            memset(next,-1,sizeof(next));            return;        }        void addedge(int x,int y,int z){            add_edge(x,y,z);            add_edge(y,x,0);            return;        }        bool bfs(){//廣搜找分層圖             queue<int>q;            memset(depth,0,sizeof(depth));            depth[s]=1;            q.push(s);            do{                int u=q.front();                q.pop();                for(int i=head[u];~i;i=next[i]){                    if(w[i]>0 and !depth[v[i]]){                        depth[v[i]]=depth[u]+1;                        q.push(v[i]);                    }                }            }while(!q.empty());            return depth[t];        }        int dfs(int u,int now){            if(u==t)                return now;            for(int i=head[u];~i;i=next[i]){                if(w[i]>0 and depth[v[i]]==depth[u]+1){                    int d=dfs(v[i],min(now,w[i]));                    if(d>0){                        w[i]-=d;w[i^1]+=d;                        return d;                    }                }            }            return 0;        }        int dinic(){//dinic演算法主過程            int ans=0;            while(bfs()){                int x;                while(x=dfs(s,INF))                    ans+=x;            }            return ans;        }}dinic;int n,m,s,t;int main(){    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);    dinic.init(n,s,t);    for(int i=1;i<=m;i++){        int x,y,z;        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);        dinic.addedge(x,y,z);    }    printf("%d\n",dinic.dinic());    return 0;}

6.最大流能解決的問題

網路流的問題其實有著很大的共性，首先就是他們都是只需要求一個的答案，且不需要中間的過程，還有答案是某種最值，往往這就是網路流。而網路流也不是裸的，往往需要各種建模亂搞。

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