演算法進階之manacher演算法 （求最長迴文）

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前幾天bestcode做到一道字串的題目，需要O（n）的迴文，正好看到網上的manacher演算法，於是來學習一發

進入正題：

manacher演算法

用法：一般用於求一個字串的最大迴文，操作過程中會記錄以每個點為中心的迴文半徑，可用來進行其他動作

時間複雜度：O（n）

空間複雜度：記錄字串2*n，半徑數組2*n

內容：

記p[i]為以i為中心的迴文半徑（aba中以b為中心的迴文半徑為2，那麼如果是偶數個數的迴文呢，比如abba？這裡先討論奇數，偶數後面再說，簡單說就是用輸入鍵台變成奇數）

因此以下的部分討論的都是奇數個數的迴文>>>>>>>>>>>>>>

那麼無可避免先要for一遍，for(j=0;j<n;i++) 來求每個p[j]，下面就是對p[j](令j=i+k)的求解

分析：假設已經求出了i+k前面的0~i+k-1的p，現在要求p[i+k]，

 那麼首先根據前面的點求半徑的時候有沒有遍曆到了i+k這個點可分為兩大類：

一、 前面的點求半徑的時候還沒有遍曆到了i+k這個點，即p[i]+i<i+k

（設i為前i+k個點中半徑時遍曆到最靠近字串後面的點，不是迴文最長！）

那麼此時p[i+k]=1；

這時候說明此時的i+k還沒找過半徑，需要從頭開始找while(s[i+k+p[i+k]]==s[i+k-p[i+k]]) p[i+k]++;

二、 前面的點求半徑時已經遍曆到了i+k這個點，即p[i]+i>=i+k
（設i為前i+k個點中半徑時遍曆到最靠近字串後面的點，不是迴文最長！）

這時候i+k前面有關於i對稱的i-k，所以算i+k的迴文半徑時不需要從第一個開始找，那麼是從p[i-k]個開始找嗎？

答案是不一定的！

下面借用網上的圖片來分析一下可能出現的兩種情況:

<1>p[i]-k<p[i-k](此時p[i-k]>=p[i+k]),下面是結合圖片的分析

首先解釋一，圖中的紅線為i的迴文半徑，黑線為i求迴文半徑時遍曆過的點，深藍線是i-k的迴文半徑，那麼此時i+k的迴文半徑一定是橙線，為什麼呢？

首先橙線部分肯定是i+k的半徑的一部分，由於對稱性可以得到與左邊i-k的橙線部分相同，

那麼i+k的半徑可能大於橙線部分嗎？

假設i+k的迴文半徑大於橙線，如中橙線+紫線，那麼由於對稱性i-k也必定含有紫線部分，那麼此時p[i]就不再是原來的p[i]了，而是如的黑線+紫線，這個與之前矛盾，所以不可能存在

即p[i+k]=p[i]-k;

<2>p[i]-k>=p[i-k](此時p[i-k]<=p[i+k]),下面是結合圖片的分析

圖中的紅線為i的迴文半徑，黑線為i求迴文半徑時遍曆過的點，深藍線是i-k的迴文半徑，首先由於對稱性i+k的迴文半徑一定包含藍線部分，與此同時i+k的右邊可能還有字元能組成更長的迴文，最後形成圖中的橙線部分，因此此時P[i+k]>=p[i-k],因此可以先賦值p[i+k]=p[i-k]，然後while(s[i+k+p[i+k]]==s[i+k-p[i+k]]) p[i+k]++;繼續往後面找。

於是由上可以總結出p[j]的求法：

void query_p(int n)                             //n為字串的長度{    int id = 0;                                 //id為上述i    p[0] = 1;    for(int j=1;j<n;j++)                        //j為上述i+k,所以k=j-id    {                       if(p[id]+id<=j) p[j]=1;                 //第一種情況        else p[j]=min(p[2*id-j],p[id]-(j-id));  //第二種情況的兩種小情況        while(s[j+p[j]]==s[j-p[j]]) p[j]++;     //繼續往後找        if(p[j]+j>p[id]+id) id=j;               //更新最靠近字串後面的點    }}

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<到這裡為止都是把迴文當做奇數個來算的，那麼如果出現偶數個怎麼辦呢，具體做法是利用輸入鍵台，字元可以用字串中肯定不會出現的字元來填充，具體做法是：

假設字串中只有字母，那麼可以利用特殊符號填充，填充方法是在每個字元的前面插入一個一樣的字元

比如填充字元時#時，原字串是abba，填充後的字元變為#a#b#b#a#，然後就可以了，至於字母的原始迴文半徑就是現在的p[i]/2+1，填充字元不會影響結果。

不過這裡需要注意的是：為了避免數組越界需要在填充後在字元再處理一下如上述*#a#b#b#a#‘\0‘,這樣從第一個字母開始遍曆的時候就不會出現問題了

這裡貼一個填充後的求最長迴文的代碼：

int for_max(int n)                             //n為原字串的長度{    for(int j=n;j>=0;j--)                       //輸入鍵台    {        s[j*2+2]=s[j];        s[j*2+1]='#';    }    s[0]='$';                                   //防止數組越界填充第一個字元和最後一個字元為‘$’和‘/0’    int id = 0;                                 //id為上述i    int maxlen = 0;    p[0] = 1;    for(int j=2;j<2*n+2;j++)                        //j為上述i+k,所以k=j-id    {        if(p[id]+id<=j) p[j]=1;                 //第一種情況        else p[j]=min(p[2*id-j],p[id]-(j-id));  //第二種情況的兩種小情況        while(s[j+p[j]]==s[j-p[j]]) p[j]++;     //繼續往後找        if(p[j]+j>p[id]+id) id=j;               //更新最靠近字串後面的點        maxlen=max(maxlen,p[j]-1);              //更新最長迴文    }    return maxlen;}

具體題目可以看HDU3068：題意大概為給一個字串，求最長回是多少

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3068

代碼如下：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <queue>#include <algorithm>#include<vector>#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")using namespace std;const int maxn = 2.2e5+5;                         char s[maxn*2];                                 //2倍數組int p[maxn*2];int for_max(int n)                             //n為原字串的長度{    for(int j=n;j>=0;j--)                       //輸入鍵台    {        s[j*2+2]=s[j];        s[j*2+1]='#';    }    s[0]='$';                                   //防止數組越界填充第一個字元和最後一個字元為‘$’和‘/0’    int id = 0;                                 //id為上述i    int maxlen = 0;    p[0] = 1;    for(int j=2;j<2*n+2;j++)                        //j為上述i+k,所以k=j-id    {        if(p[id]+id<=j) p[j]=1;                 //第一種情況        else p[j]=min(p[2*id-j],p[id]-(j-id));  //第二種情況的兩種小情況        while(s[j+p[j]]==s[j-p[j]]) p[j]++;     //繼續往後找        if(p[j]+j>p[id]+id) id=j;               //更新最靠近字串後面的點        maxlen=max(maxlen,p[j]-1);              //更新最長迴文    }    return maxlen;}int main(){    int n;    while(scanf("%s",s)!=EOF){        int m=strlen(s);        printf("%d\n",for_max(m));    }}

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