【演算法分析】KMP-串的模式比對演算法

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• 定義：
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轉自部落格園：http://www.cppblog.com/oosky/archive/2006/07/06/9486.html

KMP字串模式比對通俗點說就是一種在一個字串中定位另一個串的高效演算法。簡單匹配演算法的時間複雜度為O(m*n);KMP匹配演算法。可以證明它的時間複雜度為O(m+n).。

一.簡單匹配演算法

先來看一個簡單匹配演算法的函數：

int Index_BF ( char S [ ], char T [ ], int pos ){/* 若串 S 中從第pos(S 的下標0≤pos<StrLength(S))個字元起存在和串 T 相同的子串，則稱匹配成功，返回第一個這樣的子串在串 S 中的下標，否則返回 -1    */int i = pos, j = 0;while ( S[i+j] != '\0'&& T[j] != '\0')if ( S[i+j] == T[j] )j ++; // 繼續比較後一字元else{i ++; j = 0; // 重新開始新的一輪匹配}if ( T[j] == '\0')return i; // 匹配成功   返回下標elsereturn -1; // 串S中(第pos個字元起)不存在和串T相同的子串} // Index_BF

此演算法的思想是直截了當的：將主串S中某個位置i起始的子串和模式串T相比較。即從 j=0 起比較 S[i+j] 與 T[j]，若相等，則在主串 S 中存在以 i 為起始位置匹配成功的可能性，繼續往後比較( j逐步增1 )，直至與T串中最後一個字元相等為止，否則改從S串的下一個字元起重新開始進行下一輪的"匹配"，即將串T向後滑動一位，即 i 增1，而 j 退回至0，重新開始新一輪的匹配。
例如：在串S=”abcabcabdabba”中尋找T=” abcabd”（我們可以假設從下標0開始）:先是比較S[0]和T[0]是否相等，然後比較S[1] 和T[1]是否相等…我們發現一直比較到S[5] 和T[5]才不等。

當這樣一個失配發生時，T下標必須回溯到開始，S下標回溯的長度與T相同，然後S下標增1,然後再次比較。
這次立刻發生了失配，T下標又回溯到開始，S下標增1,然後再次比較。這次立刻發生了失配，T下標又回溯到開始，S下標增1,然後再次比較。

又一次發生了失配，所以T下標又回溯到開始，S下標增1,然後再次比較。這次T中的所有字元都和S中相應的字元匹配了。函數返回T在S中的起始下標3。

二. KMP匹配演算法

還是相同的例子，在S=”abcabcabdabba”中尋找T=”abcabd”，如果使用KMP匹配演算法，當第一次搜尋到S[5] 和T[5]不等後，S下標不是回溯到1，T下標也不是回溯到開始，而是根據T中T[5]==’d’的模式函數值（next[5]=2，為什嗎？後面講），直接比較S[5] 和T[2]是否相等，因為相等，S和T的下標同時增加;因為又相等，S和T的下標又同時增加。。。最終在S中找到了T。

KMP匹配演算法和簡單匹配演算法效率比較，一個極端的例子是：
在S=“AAAAAA…AAB“(100個A)中尋找T=”AAAAAAAAAB”, 簡單匹配演算法每次都是比較到T的結尾，發現字元不同，然後T的下標回溯到開始，S的下標也要回溯相同長度後增1，繼續比較。如果使用KMP匹配演算法，就不必回溯.
對於一般文稿中串的匹配，簡單匹配演算法的時間複雜度可降為O (m+n)，因此在多數的實際應用場合下被應用。
KMP演算法的核心思想是利用已經得到的部分匹配資訊來進行後面的匹配過程。看前面的例子。為什麼T[5]==’d’的模式函數值等於2（next[5]=2），其實這個2表示T[5]==’d’的前面有2個字元和開始的兩個字元相同，且T[5]==’d’不等於開始的兩個字元之後的第三個字元（T[2]=’c’）.

也就是說，如果開始的兩個字元之後的第三個字元也為’d’,那麼，儘管T[5]==’d’的前面有2個字元和開始的兩個字元相同，T[5]==’d’的模式函數值也不為2，而是為0。
   前面我說：在S=”abcabcabdabba”中尋找T=”abcabd”，如果使用KMP匹配演算法，當第一次搜尋到S[5] 和T[5]不等後，S下標不是回溯到1，T下標也不是回溯到開始，而是根據T中T[5]==’d’的模式函數值，直接比較S[5] 和T[2]是否相等。。。為什麼可以這樣？
剛才我又說：“（next[5]=2），其實這個2表示T[5]==’d’的前面有2個字元和開始的兩個字元相同”。請看圖  ：因為，S[4] ==T[4]，S[3] ==T[3]，根據next[5]=2，有T[3]==T[0]，T[4] ==T[1]，所以S[3]==T[0]，S[4] ==T[1]（兩對相當於間接比較過了），因此，接下來比較S[5] 和T[2]是否相等。。。

有人可能會問：S[3]和T[0]，S[4] 和T[1]是根據next[5]=2間接比較相等，那S[1]和T[0]，S[2] 和T[0]之間又是怎麼跳過，可以不比較呢？因為S[0]=T[0]，S[1]=T[1]，S[2]=T[2]，而T[0]  !=  T[1], T[1]  !=  T[2],==>  S[0]  != S[1],S[1] != S[2],所以S[1]  != T[0],S[2] != T[0].  還是從理論上間接比較了。
有人疑問又來了，你分析的是不是特殊輕況啊。
假設S不變，在S中搜尋T=“abaabd”呢？答：這種情況，當比較到S[2]和T[2]時，發現不等，就去看next[2]的值，next[2]=-1，意思是S[2]已經和T[0] 間接比較過了，不相等，接下來去比較S[3]和T[0]吧。
假設S不變，在S中搜尋T=“abbabd”呢？答：這種情況當比較到S[2]和T[2]時，發現不等，就去看next[2]的值，next[2]=0，意思是S[2]已經和T[2]比較過了，不相等，接下來去比較S[2]和T[0]吧。
假設S=”abaabcabdabba”在S中搜尋T=“abaabd”呢？答：這種情況當比較到S[5]和T[5]時，發現不等，就去看next[5]的值，next[5]=2，意思是前面的比較過了，其中，S[5]的前面有兩個字元和T的開始兩個相等，接下來去比較S[5]和T[2]吧。
總之，有了串的next值，一切搞定。那麼，怎麼求串的模式函數值next[n]呢？（本文中next值、模式函數值、模式值是一個意思。）

三. 怎麼求串的模式值next[n]定義：

• next[0]= -1  任何串的第一個字元的模式值規定為-1。
• next[j]= -1   模式串T中下標為j的字元，如果與首字元相同，且j的前面的1~k個字元與開頭的1~k個字元不等（或者相等但T[k]==T[j]）（1≤k<j）。如：T=”abCabCad” 則 next[6]=-1，因T[3]=T[6]
• next[j]=k    模式串T中下標為j的字元，如果j的前面k個字元與開頭的k個字元相等，且T[j] != T[k] （1≤k<j）。即T[0]T[1]T[2]...T[k-1]==T[j-k]T[j-k+1]T[j-k+2]…T[j-1]，且T[j] != T[k].（1≤k<j）
• next[j]=0  除（1）（2）（3）的其他情況。

舉例：(1) 求T=“abcac”的模式函數的值
next[0]= -1  根據（1）
next[1]=0   根據 (4)   因（3）有1<=k<j;不能說，j=1,T[j-1]==T[0]
next[2]=0   根據 (4)   因（3）有1<=k<j;（T[0]=a）!=（T[1]=b）
next[3]= -1  根據 (2)
next[4]=1   根據 (3)  T[0]=T[3] 且 T[1]=T[4]若T=“abcab”將是這樣：(2) 求T=”ababcaabc” 的模式函數的值
next[0]= -1    根據（1）
next[1]=0    根據(4)
next[2]=-1   根據 (2)
next[3]=0   根據 (3) 雖T[0]=T[2] 但T[1]=T[3] 被劃入（4）
next[4]=2   根據 (3) T[0]T[1]=T[2]T[3] 且T[2] !=T[4]
next[5]=-1  根據 (2) 
next[6]=1   根據 (3) T[0]=T[5] 且T[1]!=T[6]
next[7]=0   根據 (3) 雖T[0]=T[6] 但T[1]=T[7] 被劃入（4）
next[8]=2   根據 (3) T[0]T[1]=T[6]T[7] 且T[2] !=T[8]只要理解了next[3]=0，而不是=1，next[6]=1，而不是= -1，next[8]=2，而不是= 0，其他的好象都容易理解。

(3)來個特殊的，求 T=”abCabCad” 的模式函數的值。next[5]= 0  根據 (3) 雖T[0]T[1]=T[3]T[4],但T[2]==T[5]
next[6]= -1  根據 (2) 雖前面有abC=abC,但T[3]==T[6]
next[7]=4   根據 (3) 前面有abCa=abCa,且 T[4]!=T[7]
若T[4]==T[7]，即T=” adCadCad”,那麼將是這樣：next[7]=0, 而不是= 4,因為T[4]==T[7].如果你覺得有點懂了，那麼練習：求T=”AAAAAAAAAAB” 的模式函數值，並用後面的求模式函數值函數驗證。意義：

next 函數值究竟是什麼含義，前面說過一些，這裡總結。
設在字串S中尋找模式串T，若S[m]!=T[n],那麼，取T[n]的模式函數值next[n],

• next[n]=  -1 表示S[m]和T[0]間接比較過了，不相等，下一次比較 S[m+1] 和T[0]
• next[n]=0 表示比較過程中產生了不相等，下一次比較 S[m] 和T[0]
• next[n]= k >0 但k<n, 表示,S[m]的前k個字元與T中的開始k個字元已經間接比較相等了，下一次比較S[m]和T[k]相等嗎？其他值，不可能。

四. 求串T的模式值next[n]的函數

說了這麼多，是不是覺得求串T的模式值next[n]很複雜呢？要叫我寫個函數出來，目前來說，我寧願去登天。好在有現成的函數，當初發明KMP演算法，寫出這個函數的先輩，令我佩服得六體投地。我等後生小子，理解起來，都要反覆琢磨。下面是這個函數:

void get_nextval(const char *T, int next[]){       // 求模式串T的next函數值並存入數組 next。       int j = 0, k = -1;       next[0] = -1;       while ( T[j/*+1*/] != '\0' )       {              if (k == -1 || T[j] == T[k])              {                     ++j; ++k;                     if (T[j]!=T[k])                            next[j] = k;                     else                            next[j] = next[k];              }// if              else                     k = next[k];       }// while    ////這裡是我加的顯示部分   // for(int  i=0;i<j;i++)       //{       //     cout<<next[i];       //}       //cout<<endl;}// get_nextval　

另一種寫法：

void getNext(const char* pattern,int next[]){       next[0]=   -1;       int k=-1,j=0;       while(pattern[j]  !=  '\0')       {              if(k!=  -1  &&  pattern[k]!=  pattern[j] )                     k=next[k];              ++j;++k;              if(pattern[k]==  pattern[j])                     next[j]=next[k];              else                     next[j]=k;       }       ////這裡是我加的顯示部分   // for(int  i=0;i<j;i++)       //{       //     cout<<next[i];       //}       //cout<<endl;}

下面是KMP模式比對程式，各位可以用他驗證。記得加入上面的函數

#include <iostream.h>#include <string.h>int KMP(const char *Text,const char* Pattern) //const 表示函數內部不會改變這個參數的值。{       if( !Text||!Pattern||  Pattern[0]=='\0'  ||  Text[0]=='\0' )//              return -1;//null 指標或空串，返回-1。       int len=0;       const char * c=Pattern;       while(*c++!='\0')//移動指標比移動下標快。       {                  ++len;//字串長度。       }       int *next=new int[len+1];       get_nextval(Pattern,next);//求Pattern的next函數值          int index=0,i=0,j=0;       while(Text[i]!='\0'  && Pattern[j]!='\0' )       {              if(Text[i]== Pattern[j])              {                     ++i;// 繼續比較後繼字元                     ++j;              }              else              {                     index += j-next[j];                     if(next[j]!=-1)                            j=next[j];// 模式串向右移動                     else                     {                            j=0;                            ++i;                     }              }       }//while          delete []next;       if(Pattern[j]=='\0')              return index;// 匹配成功       else              return -1;      }int main()//abCabCad{       char* text="bababCabCadcaabcaababcbaaaabaaacababcaabc";    char*pattern="adCadCad";       //getNext(pattern,n);    //get_nextval(pattern,n);      cout<<KMP(text,pattern)<<endl;       return 0;}

五．其他表示模式值的方法

上面那種串的模式值表示方法是最優秀的表示方法，從串的模式值我們可以得到很多資訊，以下稱為第一種表示方法。第二種表示方法，雖然也定義next[0]= -1,但後面絕不會出現 -1，除了next[0]，其他模式值next[j]=k(0≤k<j)的意義可以簡單看成是：下標為j的字元的前面最多k個字元與開始的k個字元相同，這裡並不要求T[j] != T[k]。其實next[0]也可以定義為0（後面給出的求串的模式值的函數和串的模式比對的函數，是next[0]=0的），這樣，next[j]=k(0≤k<j)的意義都可以簡單看成是：下標為j的字元的前面最多k個字元與開始的k個字元相同。第三種表示方法是第一種表示方法的變形，即按第一種方法得到的模式值，每個值分別加1，就得到第三種表示方法。第三種表示方法，我是從論壇上看到的，沒看到詳細解釋，我估計是為那些這樣的程式設計語言準備的：數組的下標從1開始而不是0。下面給出幾種方法的例子：表一：*第三種表示方法,在我看來，意義不是那麼明了，不再討論。表二：表三：對比串的模式值第一種表示方法和第二種表示方法，看錶一：
第一種表示方法next[2]= -1,表示T[2]=T[0]，且T[2-1] !=T[0]
第二種表示方法next[2]= 0,表示T[2-1] !=T[0],但並不管T[0] 和T[2]相不相等。
第一種表示方法next[3]= 0,表示雖然T[2]=T[0]，但T[1] ==T[3]
第二種表示方法next[3]= 1,表示T[2] =T[0],他並不管T[1] 和T[3]相不相等。
第一種表示方法next[5]= -1,表示T[5]=T[0]，且T[4] !=T[0]，T[3]T[4] !=T[0]T[1]，T[2]T[3]T[4] !=T[0]T[1]T[2]
第二種表示方法next[5]= 0,表示T[4] !=T[0]，T[3]T[4] !=T[0]T[1] ，T[2]T[3]T[4] !=T[0]T[1]T[2]，但並不管T[0] 和T[5]相不相等。換句話說：就算T[5]==’x’,或 T[5]==’y’,T[5]==’9’,也有next[5]= 0 。
從這裡我們可以看到：串的模式值第一種表示方法能表示更多的資訊，第二種表示方法更單純，不容易搞錯。當然，用第一種表示方法寫出的模式比對函數效率更高。比如說，在串S=“adCadCBdadCadCad 9876543”中匹配串T=“adCadCad”, 用第一種表示方法寫出的模式比對函數,當比較到S[6] != T[6] 時，取next[6]= -1（表三）,它可以表示這樣許多資訊： S[3]S[4]S[5]==T[3]T[4]T[5]==T[0]T[1]T[2]，而S[6] != T[6]，T[6]==T[3]==T[0]，所以S[6]
!= T[0],接下來比較S[7]和T[0]吧。如果用第二種表示方法寫出的模式比對函數,當比較到S[6] != T[6] 時，取next[6]= 3（表三）,它只能表示：S[3]S[4]S[5]== T[3]T[4]T[5]==T[0]T[1]T[2]，但不能確定T[6]與T[3]相不相等，所以，接下來比較S[6]和T[3];又不相等，取next[3]= 0，它表示S[3]S[4]S[5]== T[0]T[1]T[2]，但不會確定T[3]與T[0]相不相等，即S[6]和T[0] 相不相等，所以接下來比較S[6]和T[0]，確定它們不相等，然後才會比較S[7]和T[0]。是不是比用第一種表示方法寫出的模式比對函數多繞了幾個彎。
為什麼，在講明第一種表示方法後，還要講沒有第一種表示方法好的第二種表示方法？原因是：最開始，我看嚴蔚敏的一個講座，她給出的模式值表示方法是我這裡的第二種表示方法，
她說：“next 函數值的含義是：當出現S[i] !=T[j]時，下一次的比較應該在S[i]和T[next[j]]  之間進行。”雖簡潔，但不明了，反覆幾遍也沒明白為什麼。而她給出的演算法求出的模式值是我這裡說的第一種表示方法next值，就是前面的get_nextval()函數。匹配演算法也是有瑕疵的。於是我在這裡發帖說她錯了：
   

http://community.csdn.net/Expert/topic/4413/4413398.xml?temp=.2027246

    現在看來，她沒有錯，不過有張冠李戴之嫌。我不知道，是否有人第一次學到這裡，不參考其他資料和明白人講解的情況下，就能搞懂這個演算法（我的意思是不僅是演算法的大致思想，而是為什麼定義和例子中next[j]=k(0≤k<j)，而演算法中next[j]=k(-1≤k<j)）。憑良心說：光看這個講座，我就對這個教受十分敬佩，不僅講課講得好，聲音悅耳，而且這門課講得層次分明，恰到好處。在KMP這個問題上出了點小差錯，可能是編書的時候，在這本書上抄下了例子，在那本書上抄下了演算法，結果不怎麼對得上號。因為我沒找到原書，而據有的網友說，書上已不是這樣，也許吧。說起來，教授們研究的問題比這個高深不知多少倍，哪有時間推演這個小演算法呢。總之，瑕不掩玉。
     書歸正傳，下面給出我寫的求第二種表示方法表示的模式值的函數,為了從S的任何位置開始匹配T，“當出現S[i] !=T[j]時，下一次的比較應該在S[i]和T[next[j]]  之間進行。”    定義next[0]=0 。

void myget_nextval(const char *T, int next[]){     // 求模式串T的next函數值（第二種表示方法）並存入數組 next。                     int j = 1, k = 0;     next[0] = 0;       while ( T[j] != '\0' )     {                       if(T[j] == T[k])                   {                         next[j] = k;                         ++j; ++k;                                    }                   else if(T[j] != T[0])                   {                  next[j] = k;                  ++j;                            k=0;                   }                   else                   {                          next[j] = k;                  ++j;                             k=1;                   }     }//while    for(int  i=0;i<j;i++)     {            cout<<next[i];     }     cout<<endl;}// myget_nextval

下面是模式值使用第二種表示方法的匹配函數（next[0]=0）

int my_KMP(char *S, char *T, int pos){int i = pos,  j = 0;//pos(S 的下標0≤pos<StrLength(S))while ( S[i] != '\0' && T[j] != '\0' ){    if (S[i] == T[j] )     {         ++i;             ++j; // 繼續比較後繼字元     }   else             // a  b  a  b  c  a  a  b  c                    // 0  0  0  1  2  0  1  1  2   {              //-1  0  -1  0  2 -1  1  0  2      i++;     j = next[j];     /*當出現S[i] !=T[j]時，              下一次的比較應該在S[i]和T[next[j]]  之間進行。要求next[0]=0。在這兩個簡單示範函數間使用全域數組next[]傳值。*/   }}//whileif ( T[j] == '\0' )    return (i-j); // 匹配成功else     return -1;} // my_KMP

六．後話--KMP的曆史

[這段話是抄的]
Cook於1970年證明的一個理論得到，任何一個可以使用被稱為下推自動機的電腦抽象模型來解決的問題，也可以使用一個實際的電腦（更精確的說，使用一個隨機存取機）在與問題規模對應的時間內解決。特別地，這個理論暗示存在著一個演算法可以在大約m+n的時間內解決模式比對問題，這裡m和n分別是儲存文本和模式串數組的最大索引。Knuth 和Pratt努力地重建了 Cook的證明，由此建立了這個模式比對演算法。大概是同一時間，Morris在考慮設計一個文字編輯器的實際問題的過程中建立了差不多是同樣的演算法。這裡可以看到並不是所有的演算法都是“靈光一現”中被發現的，而理論化的電腦科學確實在一些時候會應用到實際的應用中。