演算法分析漸進符號(O、o、Θ、Ω、ω)總結__演算法

用“漸近記號”來表示“漸近複雜度”。

1.  漸近記號包括：

(1)Θ（西塔）：緊確界。            相當於"="

(2)O （大歐）：上界。              相當於"<="

(3)o（小歐）：非緊的上界。       相當於"<"

(4)Ω（大歐米伽）：下界。          相當於">="

(5)ω（小歐米伽）：非緊的下界。 相當於">"

給出這些記號的定義：

註解：漸近非負的意思是“當n趨於無窮大時，f(n)和g(n)都非負”。

2.  用集合論來表示這5個符號的關係：

從上面的圖可以看出：

(1)如果f(n)=Θ(g(n)),則f(n)=O(g(n))且f(n)=Ω(g(n))。

(2)如果f(n)= o (g(n)),則f(n)=O(g(n))。

(3)如果f(n)=ω(g(n))，則f(n)=Ω(g(n))。

因此對於這些漸近記號的使用最準確應該是“f(n)∈ O (g(n))”，但是一般都是寫成“f(n)=O(g(n))”。

給出一些例子：

O(n^2)可以是n,2n,1,2n^2等。

Θ(n^2)可以是n^2,3n^2等。

ω(n^2)可以是n^3,n^10等,但不能是n^2。

Ω(n^2)可以是n^2,n^3,n^10等。

o(n^2)可以是n,1,3n等,但不能是n^2。

3.  判斷兩個函數的漸近關係

我們這裡給出了很通用的方法，叫做“極限法”。

看到上面的方法，很多人會問“怎麼沒有 O 和Ω。”，原因很簡單，因為如果f(n)=O(g(n)),則要麼是f(n)= o (g(n))，要麼是f(n)=Θ(g(n))。

4.  相關法則

5.  常用的函數階

下面是在分析演算法的時候常見的函數分類列表。所有這些函數都處於趨近於無窮大的情況下，增長得慢的函數列在上面。是一個任意常數。

符號	名稱
	常數（階，下同）
	對數
	多對數
	線性，次線性
	為迭代對數
	線性對數，或對數線性、擬線性、超線性
	平方
	多項式，有時叫作“代數”（階）
	指數，有時叫作“幾何”（階）
	階乘，有時叫做“組合”（階）