演算法、排序（9）

    　歸併排序(Merge Sort)是利用"歸併"技術來進行排序。歸併是指將若干個已排序的子檔案合并成一個有序的檔案。



兩路歸併演算法


1、演算法基本思路

    　設兩個有序的子檔案(相當於輸入堆)放在同一向量中相鄰的位置上：R[low..m]，R[m+1..high]，先將它們合并到一個局部的暫存向量R1(相當於輸出堆)中，待合并完成後將R1複製回R[low..high]中。

（1）合并過程

    　合并過程中，設定i，j和p三個指標，其初值分別指向這三個記錄區的起始位置。合并時依次比較R[i]和R[j]的關鍵字，取關鍵字較小的記錄複製到R1[p]中，然後將被複製記錄的指標i或j加1，以及指向複製位置的指標p加1。

    　重複這一過程直至兩個輸入的子檔案有一個已全部複製完畢(不妨稱其為空白)，此時將另一非空的子檔案中剩餘記錄依次複製到R1中即可。

（2）動態申請R1

    　實現時，R1是動態申請的，因為申請的空間可能很大，故須加入申請空間是否成功的處理。

2、歸併演算法

  void Merge(SeqList R，int low，int m，int high)

    {//將兩個有序的子檔案R[low..m)和R[m+1..high]歸併成一個有序的

     //子檔案R[low..high]

     int i=low，j=m+1，p=0； //置初始值

     RecType *R1； //R1是局部向量，若p定義為此類型指標速度更快

     R1=(ReeType *)malloc((high-low+1)*sizeof(RecType))；

     if(! R1) //申請空間失敗

       Error("Insufficient memory available!")；

     while(i<=m&&j<=high) //兩子檔案非空時取其小者輸出到R1[p]上

       R1[p++]=(R[i].key<=R[j].key)?R[i++]：R[j++]；

     while(i<=m) //若第1個子檔案非空，則複製剩餘記錄到R1中

       R1[p++]=R[i++]；

     while(j<=high) //若第2個子檔案非空，則複製剩餘記錄到R1中

       R1[p++]=R[j++]；

     for(p=0，i=low；i<=high；p++，i++)

       R[i]=R1[p]；//歸併完成後將結果複製回R[low..high]

    } //Merge

 

歸併排序

     歸併排序有兩種實現方法：自底向上和自頂向下。

1、 自底向上的方法

（1） 自底向上的基本思想

     自底向上的基本思想是：第1趟歸併排序時，將待排序的檔案R[1..n]看作是n個長度為1的有序子檔案，將這些子檔案兩兩歸併，若n為偶數，則得到
個長度為2的有序子檔案；若n為奇數，則最後一個子檔案輪空(不

參與歸併)。故本趟歸併完成後，前
個有序子檔案長度為2，但最

後一個子檔案長度仍為1；第2趟歸併則是將第1趟歸併所得到的
個有

序的子檔案兩兩歸併，如此反覆，直到最後得到一個長度為n的有序檔案為止。

     上述的每次歸併操作，均是將兩個有序的子檔案合并成一個有序的子檔案，故稱其為"二路歸併排序"。類似地有k(k>2)路歸併排序。

（2） 二路歸併排序的全過程
  【參見動畫示範】

（3） 一趟歸併演算法

 分析：

      在某趟歸併中，設各子檔案長度為length(最後一個子檔案的長度可能小於length)，則歸併前R[1..n]中共有
個有序的子檔案：R

[1..length]，R[length+1..2length]，…，

。
注意：

     調用歸併操作將相鄰的一對子檔案進行歸併時，必須對子檔案的個數可能是奇數、以及最後一個子檔案的長度小於length這兩種特殊情況進行特殊處理：

　　① 若子檔案個數為奇數，則最後一個子檔案無須和其它子檔案歸併(即本趟輪空)；

　　②
若子檔案個數為偶數，則要注意最後一對子檔案中後一子檔案的區間上界是n。

  具體演算法如下：

    void MergePass(SeqList R，int length)

     { //對R[1..n]做一趟歸併排序

      int i；

      for(i=1;i+2*length-1<=n;i=i+2*length)

      Merge(R，i，i+length-1，i+2*length-1)；

           //歸併長度為length的兩個相鄰子檔案

      if(i+length-1<n) //尚有兩個子檔案，其中後一個長度小於length

         Merge(R，i，i+length-1，n)； //歸併最後兩個子檔案

      //注意：若i≤n且i+length-1≥n時，則剩餘一個子檔案輪空，無須歸併

     } //MergePass

（4）二路歸併排序演算法

  void MergeSort(SeqList R)

   {//採用自底向上的方法，對R[1..n]進行二路歸併排序

     int length；

     for(1ength=1；length<n；length*=2) //做
趟歸併

        MergePass(R，length)； //有序段長度≥n時終止

   }

注意：

     自底向上的歸併排序演算法雖然效率較高，但可讀性較差。

2、自頂向下的方法
    
採用分治法進行自頂向下的演算法設計，形式更為簡潔。

（1）分治法的三個步驟

     設歸併排序的當前區間是R[low..high]，分治法的三個步驟是：

①分解：將當前區間一分為二，即求分裂點

                



②求解：遞迴地對兩個子區間R[low..mid]和R[mid+1..high]進行歸併排序；

③組合：將已排序的兩個子區間R[low..mid]和R[mid+1..high]歸併為一個有序的區間R[low..high]。

  遞迴的終結條件：子區間長度為1（一個記錄自然有序）。

（2）具體演算法

    void MergeSortDC(SeqList R，int low，int high)

     {//用分治法對R[low..high]進行二路歸併排序

       int mid；

       if(low<high){//區間長度大於1

          mid=(low+high)/2； //分解

          MergeSortDC(R，low，mid); //遞迴地對R[low..mid]排序

          MergeSortDC(R，mid+1，high)； //遞迴地對R[mid+1..high]排序

          Merge(R，low，mid，high)； //組合，將兩個有序區歸併為一個有序區

        }

     }//MergeSortDC

（3）演算法MergeSortDC的執行過程

     演算法MergeSortDC的執行過程如所示的遞迴樹。

    





二、演算法分析


1、穩定性

     　歸併排序是一種穩定的排序。



2、儲存結構要求

    　可用順序儲存結構。也易於在鏈表上實現。



3、時間複雜度

    　對長度為n的檔案，需進行
趟二路歸併，每趟歸併的時間為O(n)，故其時間複雜度無論是在最好情況下還是在最壞情況下均是O(nlgn)。



4、空間複雜度

   　
需要一個輔助向量來暫存兩有序子檔案歸併的結果，故其輔助空間複雜度為O(n)，顯然它不是就地排序。

 
注意：

    　若用單鏈表做儲存結構，很容易給出就地的歸併排序。具體【參見練習】。