演算法的藝術–最大子序列和問題

問題描述：有這樣一個序列：23,-23,11,43,-45,29,34,0,23,-12 ，求出這個序列中的最大子序列的和，例如從第0個元素到第3個元素是一個子序列，其和為54，最短的子序列可以只有一個元素，最長的子序列可以包含所有元素。

下面是解決這個問題的演算法(Java語言實現)：

演算法1，也是我們第一個想到的演算法，是非常容易理解的一個演算法，但是它效率最低，平均時間複雜度為O(n^3):

public static int getMaxSubVector1(int[] m){    int maxSubVector=0;    int i,j=0,k=0;    for(i=0;i<m.length;i++){    for(j=i;j<m.length;j++){    int sum=0;    for( k=i;k<j;k++){    sum+=m[k];    maxSubVector=Math.max(maxSubVector,sum);    }    }    }    return maxSubVector;    }

演算法2，這是一個稍微改進的演算法，它的平均時間複雜度為O(n^2)

public static int getMaxSubVector2(int[] m){    int maxSubVector=0;    int i,j=0;    for(i=0;i<m.length;i++){    int sum=0;    for(j=i;j<m.length;j++){    sum+=m[j];    maxSubVector=Math.max(maxSubVector, sum);    }    }    return maxSubVector;    }

演算法3，我們可以用分治演算法的思想來解決這個問題，這樣可以將平均時間複雜度降到O(nlogn):

public static int getMaxSubVector4(int[] b,int l,int u){        int sum=0;    int m = (l+u)/2;    if(l>u) return 0;    if(l==u) return Math.max(0,b[1]);    int lmax=sum=0;    for(int i=m;i>=1;i--){    sum+=b[i];    lmax=Math.max(lmax, sum);    }    int rmax=sum=0;    for(int i=u;i>m;i--){    sum+=b[i];    rmax=Math.max(rmax, sum);    }    return max3(lmax+rmax, getMaxSubVector4(b,l,m),getMaxSubVector4(b,m+1,u));    }    public static  int max3(int x,int y,int z){    if(x<y){    x=y;    }    if(x>z){    return x;    }    return z;    }    

演算法4，這個演算法是一種掃描的思想，是一種線性時間O(n):

 public static int getMaxSubVector5(int[] b){    int maxSubVector=0;    int maxEnding=0;    for(int i=0;i<b.length;i++){    maxEnding=Math.max(maxEnding+b[i], 0);    maxSubVector=Math.max(maxSubVector, maxEnding);    }    return maxSubVector;    }

註：以上演算法思想參考《編程珠璣》第二版