演算法：求解AOE網的關鍵路徑

前面我們簡要地介紹了AOE網和關鍵路徑的一些概念，本文接著對求解關鍵路徑程式的主要函數進行分析。現有一AOE網圖7-9-4所示，我們使用鄰接表格儲存體結構，注意與拓撲排序時鄰接表結構不同的地方在於，這裡弧表結點增加了weight域，用來儲存弧的權值。

求解事件的最早發生時間etv的過程，就是我們從頭至尾找拓撲序列的過程，因此在求關鍵路徑之前，需要先調用一次拓撲序列演算法的代碼來計算etv 和 拓撲序列列表，我們針對前面講過的AOV網與拓撲排序的程式進行改進，代碼如下（參考《大話資料結構》）：

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

/* 拓撲排序，若GL無迴路，則輸出拓撲排序序列並返回1，若有迴路返回0。 */ bool TopologicalSort(GraphAdjList GL) {     EdgeNode *pe;     int i, k, gettop;     int top = 0;/* 用於棧指標下標  */     int count = 0;/* 用於統計輸出頂點的個數  */     /* 建棧將入度為0的頂點入棧  */     int *stack = (int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int));     for (i = 0; i < GL->numVertexes; i++)         if (0 == GL->adjList[i].in)             stack[++top] = i;/* 將入度為0的頂點入棧 */     top2 = 0;     etv = (int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int));     for (i = 0; i < GL->numVertexes; i++)         etv[i] = 0; /* 初始化 */     stack2 = (int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int));     cout << "TopologicalSort ..." << endl;     while (top != 0)     {         gettop = stack[top--];         cout << GL->adjList[gettop].data << " -> ";         count++;  /* 輸出i號頂點，並計數 */         stack2[++top2] = gettop; /* 將彈出的頂點序號壓入拓撲序列的棧 */         for (pe = GL->adjList[gettop].firstedge; pe; pe = pe->next)         {             k = pe->adjvex;             /* 將i號頂點的鄰接點的入度減1，如果減1後為0，則入棧 */             if (!(--GL->adjList[k].in))                 stack[++top] = k;             /* 求各頂時間點事件的最早發生時間etv值 */             if ((etv[gettop] + pe->weight) > etv[k])                 etv[k] = etv[gettop] + pe->weight;         }     }     cout << endl;     if (count < GL->numVertexes)         return false;     else         return true; }

在程式開始處我們聲明了幾個全域變數：

int *etv,*ltv; /* 事件最早發生時間和最遲發生時間數組，全域變數 */
int *stack2;   /* 用於儲存拓撲序列的棧 */
int top2;   /* 用於stack2的指標 */

其中stack2用來儲存拓撲序列，以便後面求關鍵路徑時使用。

上面的拓撲排序函數中除了增加了第12～19行，29行，38～39行，其他跟前面講過的AOV網與拓撲排序沒什麼區別。

第12～19行初始化全域變數etv數組、top2和stack2的過程。第29行就是將本來要輸出的拓撲序列壓入全域棧stack2中。第38～39行很關鍵，是求etv數組的每一個元素的值，具體求值辦法參見AOE網和關鍵路徑。

下面來看求關鍵路徑的演算法代碼。

 C++ Code 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

/* 求關鍵路徑,GL為有向網，輸出G的各項關鍵活動 */ void CriticalPath(GraphAdjList GL) {     EdgeNode *pe;     int i, j, k, gettop;     int ete, lte;/* 聲明活動最早發生時間和最遲發生時間變數 */     TopologicalSort(GL);/* 求拓撲序列，計算數組etv和stack2的值 */     ltv = (int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int)); /* 事件最早發生時間數組 */     for (i = 0; i < GL->numVertexes; i++)         ltv[i] = etv[GL->numVertexes - 1];/* 初始化 */     cout << "etv :  ";     for (i = 0; i < GL->numVertexes; i++)         cout << etv[i] << ' ';     cout << endl;     while (top2 != 0)/* 出棧是求ltv */     {         gettop = stack2[top2--];         /* 求各頂時間點事件的最遲發生時間ltv值 */         for (pe = GL->adjList[gettop].firstedge; pe; pe = pe->next)         {             k = pe->adjvex;             if (ltv[k] - pe->weight < ltv[gettop])                 ltv[gettop] = ltv[k] - pe->weight;         }     }     cout << "ltv :  ";     for (i = 0; i < GL->numVertexes; i++)         cout << ltv[i] << ' ';     cout << endl;     /* 求ete,lte和關鍵活動 */     for (j = 0; j < GL->numVertexes; j++)     {         for (pe = GL->adjList[j].firstedge; pe; pe = pe->next)         {             k = pe->adjvex;             ete = etv[j];/* 活動最早發生時間 */             lte = ltv[k] - pe->weight;/* 活動最遲發生時間 */             if (ete == lte) /* 兩者相等即在關鍵路徑上 */                 cout << "<v" << GL->adjList[j].data << " - v"                      << GL->adjList[k].data << "> length: " << pe->weight << endl;         }     } }

函數第7行調用求拓撲序列的函數，執行完畢後，全域數組etv和棧stack2 7-9-6所示，top2 = 10，也就是說，對於每個事件的最早發生時間，我們已經計算出來了。

第11～12行初始化全域變數ltv數組，因為etv[9] = 27，所以數組ltv值現在為全27。

第19～29行是計算ltv 數組的迴圈，具體方法參見AOE網和關鍵路徑。

當程式執行到第36行，etv和ltv數組的值7-9-9

比如etv[1] = 3, 而ltv[1] = 7，表示如果單位是天的話，哪怕v1整個事件在第7天才開始，也可以保證整個工程的按期完成，可以提前v1事件開始時間，但最早也得第3天開始。

第36～47行是求另兩個變數，活動最早開始時間ete和活動最晚開始時間lte，並對相同下標的它們進行比較。兩重迴圈嵌套是對鄰接表的頂點和每個頂點的弧表遍曆，具體方法參見AOE網和關鍵路徑，舉例來說，7-9-10，當j = 0時，當k = 2， ete = lte,
表示

弧<v0, v2> 是關鍵路徑，因此列印；當k = 1, ete != lte， 故弧<v0, v1> 不是關鍵路徑。

j = 1 一直到 j = 9為止，做法是完全相同的，最後輸出的結果如，最終關鍵路徑7-9-11所示。