演算法學習 - 最長公用子序列（LCS）C++實現

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最長公用子序列

最長公用子序列的問題很簡單，就是在兩個字串中找到最長的子序列，這裡明確兩個含義：

1. 子串：表示連續的一串字元 。
2. 子序列：表示不連續的一串字元。

所以這裡要尋找的是不連續的最長子序列，

動態規劃

這裡為什麼要使用動態規劃可以說一下，簡單來說動態規劃是為了降低時間複雜度的一種演算法，申請一個額外空間，來儲存每一個步驟的結果，最後從這些結果中找到最優的解。

這裡有個問題就是：一般來說，當前的最優解，只與當前時刻和上一時刻有關係，和其他時刻沒有關係，這樣才能讓動態規劃發生作用，降低複雜度。

分析LCS

其實LCS看起來很麻煩，找不到思路，如果暴力破解可能要O(n^4)了，而這個題目使用動態規劃的思想也非常簡單，為何相比之前的問題不好找思路呢？

是因為之前的動態規劃問題例如：背包問題，生產線問題，都是一維數組空間內的結果，規划到一個線性時間內，而這個題目需要O(m*n)的時間複雜度和空間複雜度。

所以其實就是進行m*n次對比，每次儲存當前的最優解，就可以了。

代碼實現分析

這裡有個問題，就是我們需要的結果僅僅是長度？ 還是包括這個序列串一起輸出。

看下面圖：

這裡可以看到，我們構造的一個i*j的矩陣，這個矩陣裡的內容不但包括數值（當前結果的最優解），還包括一個方向箭頭，這個代表了我們回溯的時候，需要行走的方向。

所以我們這裡儲存兩個值，可以使用兩個二維矩陣，也可以使用一個結構體矩陣。

解法分析

其實這個題目在動態規劃來理解，也非常簡單。一個狀態轉移函數。

這個非常好理解，其中一個字串為0的時候，那麼肯定是0了。

當兩個字元相等的時候，這個時候很好理解，舉例來說：

abcd 和 adcd,在遍曆c的時候，發現前面只有a相等了，也就是1.
那麼c相等，也就是abc和adc在匹配的時候，一定比ab和ad的長度大1，這個1就是c相等麼。也就是相等的時候，是比c[i-1][j-1]大1的。

下一個更好理解了，如果不相等，肯定就是找到上一個時刻對比最大的麼。

代碼

這個代碼只輸出了LCS的長度，而結果數組的方向我已經儲存好了，想要遍曆的，直接從後向前遍曆數組就好了。

////  main.cpp//  LCS////  最長公用子序列(LCS)////  Created by Alps on 15/8/23.//  Copyright (c) 2015年 chen. All rights reserved.//#include <iostream>using namespace std;/** 這裡可以不定義長度，輸入的字串用string儲存，然後利用string.c_str()來對字串進行數組轉化。 我這裡為了方便沒有這樣做。*/#ifndef MAX_LENGTH#define MAX_LENGTH 15 //定義字串最大長度#endifint MaxNum(int firstNum, int secondNum){    return firstNum > secondNum ? firstNum : secondNum;}//定義數組結構體struct matrix{    int num;    int direct;};typedef matrix Matrix;int LCS(char *strA, char *strB, int lengthA, int lengthB, Matrix *resultMatrix[]){    if (lengthA == 0 || lengthB == 0) {        return 0;    }    for (int i = 0; i < lengthA; i++) {        for (int j = 0; j < lengthB; j++) {            resultMatrix[i][j].num = 0; //設定所有預設的最長為0            resultMatrix[i][j].direct = 1; //所有預設方向變成上 0斜上，1上，-1左        }    }    for (int i = 0; i < lengthA; i++) {        for (int j = 0; j < lengthB; j++) {            if (strA[i] == strB[j]) {                resultMatrix[i+1][j+1].num = resultMatrix[i][j].num + 1;                resultMatrix[i+1][j+1].direct = 0;            }else{                resultMatrix[i+1][j+1].num = MaxNum(resultMatrix[i+1][j].num, resultMatrix[i][j+1].num);                resultMatrix[i+1][j+1].direct = resultMatrix[i+1][j].num > resultMatrix[i][j+1].num ? 1 : -1;            }        }    }    return resultMatrix[lengthA][lengthB].num;}int main(int argc, const char * argv[]) {    char *strA = (char*)malloc(sizeof(char) * MAX_LENGTH);    char *strB = (char*)malloc(sizeof(char) * MAX_LENGTH);    scanf("%s",strA);    scanf("%s",strB);    int lengthA = (int)strlen(strA);    int lengthB = (int)strlen(strB);    Matrix *resultMatrix[lengthA+1];    for (int i = 0; i <= lengthA; i++) {        resultMatrix[i] = (Matrix*)malloc(sizeof(struct matrix)* (lengthB+1));    }    int max = LCS(strA, strB, lengthA, lengthB, resultMatrix);    printf("%d\n",max);    std::cout << "Hello, World!\n";    return 0;}

以上。?Alps1992

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