演算法-最大連續子序列和

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 題目:給定（可能是負的）整數A1、A2、…、AN，求出並確定對應的序列的最大值。如果所有的整數都是負數，那麼最大連續子數列和就是0，只是求出最大值，不需要求出具體的序列，作為這個題目的變種有很多情況下給你一個確定的數列，具體求和，大同小異，共有四種解法，按照時間複雜度來解，object-c實現，解法如下:

窮舉法

這個應該是這個題目最容易想到的方式，通過迴圈遍曆出所有的序列組合，求出最大的序列的最大值，代碼如下:

-(NSInteger)maxSubsequenceSum:(NSArray *)data{        NSInteger maxSum=0;//最大子序列的和        for (NSInteger start=0; start<[data count]; start++) {                for (NSInteger end=start; end<[data count]; end++) {                        NSInteger currentSum=0;//當前子序列的和            //data[start]~data[end]子序列的和            for (NSInteger i=start; i<=end; i++) {                                currentSum+=[[data objectAtIndex:i] integerValue];                            }            //通過判斷給最大子序列的和賦值            if (maxSum<currentSum) {                maxSum=currentSum;            }        }    }    return maxSum;}

 　這個演算法三個迴圈，假設數組的長度為n，第一層迴圈為n，第二層迴圈n-start，第三層end-start，可算出時間複雜度O(n*n*n)=O(N^3)，時間複雜度是跟輸入長度的立方有關，如果數組過長會是一個災難~

窮舉精簡版

對data[start]~data[end]子序列求和，可以由上一次求和data[start]~data[end-1]的結果加上data[end]得到，不需要重頭開始計算，時間複雜度為O(N^2) 

-(NSInteger)maxSubsequenceSumSecond:(NSArray *)data{    NSInteger maxSum=0;//最大子序列的和    for (NSInteger start=0; start<[data count]; start++) {                NSInteger currentSum=0;//當前子序列的和                for (NSInteger end=start; end<[data count]; end++) {            //data[start]~data[end]子序列的和，通過end加入，不需要迴圈            currentSum+=[[data objectAtIndex:end] integerValue];                        if (maxSum<currentSum) {                maxSum=currentSum;            }        }    }    return maxSum;}

遞迴版

題目中最大子序列可能在三個地方出現，左半部，右半部，跨越輸入資料的中部而佔據左右兩部分。前兩種情況遞迴求解，第三種情況的最大和可以通過求出前半部分最大和（包含前半部分最後一個元素）以及後半部分最大和（包含後半部分的第一個元素）相加而得到。

-(NSInteger)maxSubsequenceSumThird:(NSArray *)data  leftIndex:(NSInteger)left rightIndex:(NSInteger)right{    if (left==right) {        if (data[left]>0) {            //空集也算是子序列，空集和為0，最大子序列和最小為0            return [data[left] integerValue];        }else{            return 0;        }    }        NSInteger center=(left+right)/2;    NSInteger maxLeftSum=[self maxSubsequenceSumThird:data leftIndex:left rightIndex:center];    NSInteger maxRightSum=[self maxSubsequenceSumThird:data leftIndex:center+1 rightIndex:right];        //左半部分中包含最右邊元素的子序列的最大和    NSInteger  maxLeftBorderSum=0,leftBorderSum=0;    for (NSInteger i=center; i>=left; i--) {        leftBorderSum+=[data[i] integerValue];        if (leftBorderSum>maxLeftBorderSum) {            maxLeftBorderSum=leftBorderSum;        }    }    //右半部分包含最左邊的值    NSInteger maxRightBorderSum=0,rightBorderSum=0;    for (NSInteger i=center+1;i<right;i++) {        rightBorderSum+=[data[i] integerValue];        if (rightBorderSum>maxRightBorderSum) {            maxRightBorderSum=rightBorderSum;        }    }    //跨越左右部分的最大序列和    NSInteger maxMiddleSum=maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum;    //左部分，右部分，跨越左右的最大序列和的最大值    NSInteger result=maxLeftSum>maxRightSum?maxLeftSum:maxRightSum;    return result>maxMiddleSum?result:maxMiddleSum;}

如果left==right，那麼T(1)=1，兩層迴圈的時間的次數2/N，最後的時間複雜度T(N)=2T(N/2)+O(N),等價於2T(N/2)+N，T(N)=N*(K+1)（這個可以自己推導），T(N)=N*(k+1)=NlogN +N=O(N )；

最簡版

一次遍曆，如果小於0，重新設定迴圈的位置，時間複雜度O(N)：

-(NSInteger)maxSubsequenceSumFour:(NSArray *)data{    NSInteger maxSum=0,currentSum=0;    for (NSInteger index=0; index<[data count]; index++) {        currentSum+=[[data objectAtIndex:index] integerValue];        //判斷當前序列的和是否為正數        if (currentSum<0) {            currentSum=0;        }        else if(maxSum<currentSum) {            maxSum=currentSum;        }    }    return maxSum;}

還有一個極端的情況，如果都是負數，不想返回0，擷取最大的負整數即可:

-(NSInteger)maxSubsequenceSumSpecial:(NSArray *)data{        NSInteger maxSum=[[data objectAtIndex:0] integerValue],currentSum=0;        NSInteger maxNegative=[[data objectAtIndex:0] integerValue];        for (NSInteger index=0; index<[data count]; index++) {                currentSum+=[[data objectAtIndex:index] integerValue];        if (currentSum<0) {            currentSum=0;        }        else if(maxSum<currentSum) {            maxSum=currentSum;        }        if (maxNegative<[data[index] integerValue]) {            maxNegative=[data[index] integerValue];        }    }    return maxSum>maxNegative?maxSum:maxNegative;    }

調用如下:

    NSArray *dataSource=[[NSArray alloc]initWithObjects:@"10",@"-9",@"-3",@"8",@"-2", nil];    MaxSubsequence  *maxSubsequence=[[MaxSubsequence alloc]init];    NSInteger result=[maxSubsequence maxSubsequenceSum:dataSource];    NSLog(@"最大的連續子序列的和:%ld",(long)result);            NSInteger resultSecond=[maxSubsequence maxSubsequenceSumSecond:dataSource];    NSLog(@"第二種最大的連續子序列的和:%ld",(long)resultSecond);    NSInteger thirdResult=[maxSubsequence maxSubsequenceSumThird:dataSource leftIndex:0 rightIndex:dataSource.count-1];    NSLog(@"第三種最大的連續子序列的和:%ld",(long)thirdResult);        NSInteger fourResult=[maxSubsequence maxSubsequenceSumFour:dataSource];    NSLog(@"第四種最大的連續子序列的和:%ld",(long)fourResult);        NSInteger specialResult=[maxSubsequence maxSubsequenceSumSpecial:dataSource];    NSLog(@"第四種全是負數最大的連續子序列的和:%ld",(long)specialResult);

　　結果是10，數組簡單定義下，重要是看過程~

演算法-最大連續子序列和