演算法筆記_012:埃拉托色尼篩選法

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1 問題描述

Compute the Greatest Common Divisor of Two Integers using Sieve of Eratosthenes.

翻譯：使用埃拉托色尼篩選法計算兩個整數的最大公約數。（PS：最大公約數也稱最大公因數，指兩個或多個整數共有約數中最大的一個）

 

 

2 解決方案2.1 埃拉托色尼篩選法原理簡介

引用自百度百科：

埃拉托色尼篩選法(the Sieve of Eratosthenes)簡稱埃氏篩法，是古希臘數學家埃拉托色尼(Eratosthenes 274B.C.～194B.C.)提出的一種篩選法。 是針對自然數列中的自然數而實施的，用於求一定範圍內的質數，它的容斥原理之完備性條件是p=H~。

具體求取質數的思想：

（1）先把1刪除（現今數學界1既不是質數也不是合數）

（2）讀取隊列中當前最小的數2，然後把2的倍數刪去

（3）讀取隊列中當前最小的數3，然後把3的倍數刪去

（4）讀取隊列中當前最小的數5，然後把5的倍數刪去

（5）如上所述直到需求的範圍內所有的數均刪除或讀取

下面看一下執行上述步驟求不大於100的所有質數的一個：

 

 

2.2 具體編碼

本文求取兩個數的最大公約數，採用質因數分解法：把每個數分別分解質因數，再把各數中的全部公有質因數提取出來連乘，所得的積就是這幾個數的最大公約數。

例如：求24和60的最大公約數，先分解質因數，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質因數是2、2、3，它們的積是2×2×3=12，所以，（24，60）=12。

此處，第一步，先使用埃拉托色尼篩選法求取不大於數A的所有質數，然後從這些質數中選取A的所有質因數；第二步，依照第一步思想求取數B的所有質因數；第三步，求取數A和數B公用質因數；第四步，輸出數A和數B的最大公約數。

具體代碼如下：

 

package com.liuzhen.ex1;import java.util.Scanner;public class SieveOfEratosthenes {    //返回一維數組，數組中的元素為不大於n的所有質數    public static int[] getPrime(int n){        int[] result1 = new int[n];   //定義一個一維數組，並從第2個元素依次初始化為相應的自然數        for(int i = 2;i < n+1;i++){                result1[i-1] = i;        }        for(int i = 2;i < n;i++){            for(int j = i+1;j < n+1;j++){                if(j % i == 0)          //如果j能夠整除i，使result[j-1]等於0                    result1[j-1] = 0;            }        }        int[] result2 = getNoneZero(result1);  //除去result數組中所有0元素        return result2;     //數組中非零元素即為不大於n的所有質數    }        //返回一維數組，該數組的元素為參數數組中所有不為0的元素值    public static int[] getNoneZero(int[] A){        int len = 0;         for(int i = 0;i < A.length;i++){            if(A[i] != 0)                len = len+1;        }        int[] result = new int[len];        int k = 0;        for(int i = 0;i < A.length;i++){            if(A[i] != 0){                result[k] = A[i];                k++;            }        }        return result;    }        //求取一個數n的所有質因數(eg:24=2×2×2×3,則result[] = {2,2,2,3})    public static int[] getNprime(int n){        int[] primes = getPrime(n);        int[] result;        //最終返回結果集        int len = 0;         //返回結果集數組長度，初始化為0        for(int i = 0;i < primes.length;i++){            int temp = n;            while(temp % primes[i] == 0){                temp = temp/primes[i];                len++;            }        }        result = new int[len];        int k = 0;        for(int i = 0;i < primes.length;i++){            int temp = n;            while(temp % primes[i] == 0){                temp = temp/primes[i];                result[k] = primes[i];                k++;            }        }        return result;    }        //返回兩個一維數組中所有共同元素    public static int[] getCommonPrime(int[] A , int[] B){        int[] result;        int lenA = A.length;        int lenB = B.length;        if(lenA < lenB){            result = new int[lenA];            for(int i = 0;i < lenA;i++){                int temp = A[i];                for(int j = 0;j < lenB;j++){                    if(temp == B[j]){                        result[i] = A[i];                        B[j] = 0;                        break;                    }                }            }        }        else{            result = new int[lenB];            for(int i = 0;i < lenB;i++){                int temp = B[i];                for(int j = 0;j < lenA;j++){                    if(temp == A[j]){                        result[i] = B[i];                        A[j] = 0;                        break;                    }                }            }        }        int[] result1 = getNoneZero(result);        return result1;    }        //求取數A和B的最大公約數    public static void getMaxCommonDivisor(int A,int B){        int[] primesA =  getNprime(A);  //數A所有質因子        int[] primesB = getNprime(B);   //數B所有質因子        int[] resultPrime = getCommonPrime(primesA,primesB);  //數A和數B的公用質因數        int maxCommonDivisor = 1;        System.out.println(A+"和"+B+"的公用質因數為：");        for(int i = 0;i < resultPrime.length;i++){            maxCommonDivisor *= resultPrime[i];            System.out.print(resultPrime[i]+"\t");        }        System.out.println();        System.out.print(A+"和"+B+"的最大公約數為："+maxCommonDivisor);    }        public static void main(String[] args){        System.out.println("請輸入數字A和數字B的值：");        Scanner in = new Scanner(System.in);        int a = in.nextInt();        int b = in.nextInt();        getMaxCommonDivisor(a,b);    }}

 

運行結果：

請輸入數字A和數字B的值：100 60100和60的公用質因數為：2    2    5    100和60的最大公約數為：20請輸入數字A和數字B的值：60 4860和48的公用質因數為：2    2    3    60和48的最大公約數為：12請輸入數字A和數字B的值：120 54120和54的公用質因數為：2    3    120和54的最大公約數為：6

 

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