演算法熟記-排序系列-基數排序

1. 簡述
1.1 一般方法

    計數排序的排序對象一般是整數。
    假設待排序數組為 int array[]， 數組長度為n。
    第一步：開闢臨時數組,int tmp[]，數組長度為n。int count，數組長度為10。
    第二步：遍曆數組，得到最大數值的位元d，即後面需要d次排序。
    第三步：根據個位進行排序，根據十位進行排序，···，根據d位進行排序。
               對於根據i位進行排序，其中1<=i<=d
               首先，統計array的所有元素在d位上的出現次數，儲存到int count[]中。
               然後，根據count[]計算得到，array應該在tmp中的出現的最後的位置，即count[i]=count[i]+count[i-1], i>0。
               接著，從後向前遍曆array，對於array[i]，得到其位元在count的對應下標m（個位對應0，十位對應1，···），令tmp[count[m]--] = array[i]
                       上一步中之所以從後向前遍曆array，是因為count恰好儲存的是tmp中每個分組最後出現的位置。
               最後，將tmp內容，複製到array中。

1.2 一個更加抽象的虛擬碼：
    RADIX-SORT(A,d)
        for i = 1 to d
        使用一種穩定排序演算法對A中元素的第i位進行排序
1.3 位元的順序
      基數排序的方式可以採用LSD（Least significant digital）或MSD（Most significant digital），LSD的排序方式由索引值的最右邊開始，而MSD則相反，由索引值的最左邊開始。
      即，一個是從低位到高位，另一個是從高位到低位。

2. 複雜度
    以簡述中的方法分析，統計次數時間為n，計算count時間為10，基數分配時間為n，基數回收時間為n，基本上是d*（3*n+10）。 當然可以有一些最佳化。但是基本上，複雜度是O(d*(n+radix))，其中radix是關鍵碼的取值範圍。空間複雜度是O(n+radix)。   

    穩定性屬於穩定的排序。注意，這裡的穩定性是必須的，即針對每個位元分別進行排序必須是穩定的，只有這樣，才能保證基數排序從高位開始還是從低位開始排序都是正確的。

3. 代碼

//輔助函數，求資料的最大位元
int maxbit(int data[],int n)  { 
  int d = 1; //儲存最大的位元
　int p =10; 　　
  for(int i = 0;i < n; i++) {
    while(data[i] >= p) {
      p *= 10;
      d++;
    }
  }
  return d;
}
//基數排序
void radixsort(int data[],int n)  { 
  int d = maxbit(data,n); 
  int * tmp = new int[n];
  int * count = new int[10]; //計數器
  int i,j,k;
  int radix = 1;
  for(i = 1; i <= d; i++) {  //進行d次排序    
    for(j = 0; j < 10;j++) //每次分配前清空計數器　 
    　count[j] = 0; 
    for(j = 0;j < n; j++) { //統計每個桶中的記錄數
      k = (data[j]/radix)%10; 
      count[k]++;
  　}
    for(j = 1;j < 10; j++) //將tmp中的位置依次分配給每個桶 
      count[j] = count[j-1] + count[j];
    for(j = n-1;j >= 0;j--) { //將所有桶中記錄依次收集到tmp中
  　　k = (data[j]/radix)%10;
  　　count[k]--; 
    　tmp[count[k]] = data[j];
    }
    for(j = 0;j < n;j++) //將臨時數組的內容複寫到data中
      data[j] = tmp[j];
    radix = radix*10;
  } 
  delete [] tmp;
  delete [] count;
} 

4. 參考資料

    維基百科-基數排序    http://en.wikipedia.org/wiki/Radix_sort