演算法熟記-排序系列-堆排序

1. 簡述

    假設待排序數組為 int array[], 數組長度為n。
    主要是利用堆的性質。對於升序排序，使用最大堆。
    首先，建堆，使用遞迴後根序遍曆得方法，通過交換元素，保證根項目比孩子項目大。
    第1趟，堆頂元素array[0]與array[n-1]交換，保證array[n-1]的數值正確，根據array[0]新的數值更新堆。
    第2趟，堆頂元素array[0]與array[n-2]交換，保證array[n-2]的數值正確，根據array[0]新的數值更新堆。
    ···

    第n-1趟，堆頂元素array[0]與array[1]交換，保證array[1]的數值正確，根據array[0]新的數值更新堆。

2. 複雜度

    平均時間複雜度為O(N*logN)，空間複雜度為O(1)。

3. 代碼   

void make_heap(int array[], int n, int node) { // 自底向上，構建堆
  int left = 2 * node + 1;
  int right = 2 * node + 2;
  if(left > n-1) return;
  else if(right > n-1) { // 堆是完全的二叉樹，所以此時不需要遞迴
    if(array[node] < array[left]) {
      swap(array[node], array[left]);
    }
  }
  else {
    make_heap(array, n, left);
    make_heap(array, n, right);
    if(array[node] < array[left] && array[right] <= array[left]) {
      swap(array[node], array[left]);
    }
    else if(array[node] < array[right] && array[left] <= array[right]) {
      swap(array[node], array[right]);
    }
  }
}
void update_heap(int array[], int n, int node) { // 自頂向下，更新堆
  int left = 2 * n + 1;
  int right = 2 * n + 2;
  if(left > n-1) return;
  else if(right > n-1) {
    if(array[node] < array[left]) 
      swap(array[node], array[left]);
  }
  else {
    if(array[node] < array[left] && array[right] <= array[left]) {
      swap(array[node], array[left]);
      update_heap(array, n, left);
    }
    else if(array[node] < array[right] && array[left] <= array[right]) {
      swap(array[node], array[right]);
      update_heap(array, n, right);
    }
  }
}
void heap_sort(int array[], int n) {
  make_heap(array, n, 0);
  for(int i=n; i>=1; i--) {
    swap(array[i], array[0]);
    update_heap(array, n, node);
  } 
}

    實際上，堆的構建和更新都可以使用非遞迴的方式實現，對於堆的構建，需要首先找到最後一個有孩子的節點array[k]，然後從array[k]一直更新到array[0]即可，其中的k=n/2。k的求法如下：假設k存在，2*k+1=n或者2*k+2=n，對於第一種情況，k==n/2，對於第二種情況，k==n/2-1。對於堆的更新，就更簡單了，只要從array[0]開始，選擇一條通路，一直向下更新，直到沒有孩子了為止。
   值得注意的是，對於下標從0開始的數組，k號節點的孩子節點分別是2*k+1和2*k+2。 而對於下標從1開始得數組，k號節點的孩子節點分別是2*k和2*k+1。
    堆排序屬於選擇排序，實際上就是利用最大堆這個資料結構，每次選擇一個剩餘元素中最大的元素，交換到合適的位置上去。

4. 參考資料

    維基百科-堆排序    http://en.wikipedia.org/wiki/Heapsort