演算法研究：圖解最小產生樹之普裡姆演算法

我們在圖的定義中說過，帶有權值的圖就是網結構。一個連通圖的產生樹是一個極小的連通子圖，它含有圖中全部的頂 點，但只有足以構成一棵樹的n-1條邊。所謂的最小成本，就是n個頂點，用n-1條邊把一個連通圖串連起來，並且使得權值 的和最小。綜合以上兩個概念，我們可以得出：構造連通網的最小代價產生樹，即最小產生樹（Minimum Cost Spanning Tree）。

找連通圖的最小產生樹，經典的有兩種演算法，普裡姆演算法和克魯斯卡爾演算法，這裡介紹克裡姆演算法。

為了能夠講明白這個演算法，我們先構造網圖的鄰接矩陣，如圖7-6-3的右圖所示。

也就是說，現在我們已經有了 一個儲存結構為MGraph的MG（見《鄰接矩陣建立圖》）。MG有9個頂點，它的二維數組如右圖所示，數組中我們使用65535代 表無窮。

下面我們對著程式和每一步迴圈的圖示來看：

演算法代碼：

/* Prim演算法產生最小產生樹  */void MiniSpanTree_Prim(MGraph MG){    int min, i, j, k;    int adjvex[MAXVEX];/* 儲存相關頂點下標 */    int lowcost[MAXVEX];/* 儲存相關頂點間邊的權值 */    lowcost[0] = 0;/* 初始化第一個權值為0，即v0加入產生樹 */    /* lowcost的值為0，在這裡就是此下標的頂點已經加入產生樹 */    adjvex[0] = 0;/* 初始化第一個頂點下標為0 */    cout << "最小產生樹的邊為：" << endl;    for (i = 1; i < MG.numVertexes; i++)    {        lowcost[i] = MG.arc[0][i];/* 將v0頂點與之有邊的權值存入數組 */        adjvex[i] = 0;/* 初始化都為v0的下標 */    }        for (i = 1; i < MG.numVertexes; i++)    {        min = INFINITY; /* 初始化最小權值為∞， */            j = 1;        k = 0;            while (j < MG.numVertexes)/* 迴圈全部頂點 */        {            if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min)/* 如果權值不為0且權值小於min */            {                min = lowcost[j];/* 則讓當前權值成為最小值 */                k = j;/* 將當前最小值的下標存入k */            }                j++;        }            cout << "(" << adjvex[k] << ", " << k << ")" << "  "; /* 列印當前頂點邊中權值最小的邊 */        lowcost[k] = 0;/* 將當前頂點的權值設定為0,表示此頂點已經完成任務 */            for (j = 1; j < MG.numVertexes; j++)/* 迴圈所有頂點 */        {            /* 如果下標為k頂點各邊權值小於此前這些頂點未被加入產生樹權值 */            if (lowcost[j] != 0 && MG.arc[k][j] < lowcost[j])            {                lowcost[j] = MG.arc[k][j];/* 將較小的權值存入lowcost相應位置 */                adjvex[j] = k;/* 將下標為k的頂點存入adjvex */            }        }    }    cout << endl;}