演算法總結之歐幾裡德演算法

標籤：style   blog   color   strong   代碼   div   ar   演算法   

演算法總結之歐幾裡德演算法

1.歐幾裡德演算法

　　歐幾裡德演算法又稱輾轉相除法，用於計算兩個正整數a，b的最大公約數。

　　其計算原理依賴於下面的定理：

　　gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不為0)

代碼實現：

1 int gcd(int a,int b)2 {3     return b==0?a:gcd(b,a%b);4 }

2.擴充歐幾裡德演算法

基本演算法：

　　對於不完全為 0 的非負整數 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公約數，必然存在整數對 x，y，使得 gcd（a，b）=ax+by。
證明：
　　則我們先來假設方程的ax+by=gcd(a,b)=d的一個正整數解為x1,y1；別懷疑，這個方程一定有解

　　則有ax1+by1=gcd(a,b)   (1)

　　又對於方程bx +(a%b)y =gcd(b,a%b)有解x2,y2(假設)

　　則有bx2+(a%b)y2=gcd (b,a%b) = gcd(a, b) (2)

　　又a%b = a - (a/b)*b；

　　則(2)式變為bx2+(a-(a/b)*b)y2=gcd(a,b);

　　即 ay2 + b(x2-(a/b)*y2) = gcd (a,b) (3) ;

　　對比(1)(3)得

　　x1=y2;y1=x2-(a/b)*y2

　　故，ax+by=gcd(a,b)的解只需要在方程bx+(a%b)y=gcd(b,a%b)的解的基礎上進行簡單的運算就變成原來方程的解，

　　因為gcd不斷遞推時會有b=0的情況出現，故可以通過遞推來得到方程的解。

代碼實現：

 1 LL extended_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) //傳回值為gcd(a,b) 2 { 3     LL ret,tmp; 4     if (b==0) 5     { 6         x=1,y=0; 7         return a; 8     } 9     ret=extended_gcd(b,a%b,x,y);10     tmp=x;11     x=y;12     y=tmp-a/b*y;13     return ret;14 }

3.一些結論

　　1) 方程 Ax+By=C 滿足條件：C=K*Gcd(A,B) (K為整數) 則方程存在整數解。反之無解。

　　2) 設a，b，c為任意整數。若方程ax+by=c的一組整數解為(x0，y0)，則它的任意整數解都可以寫成(x0+kb‘,y0-ka‘),其中a‘=a/gcd(a，b)，b‘=b/gcd(a，b)，k為任意整數。

　　3) 若求出一組整數解(x1,x2) 設x0=x1%b‘ y0=y1%b‘ 則x0，y0為所有解中最接近零的解。