演算法模板——線段樹

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前言

線段樹作為進階資料結構，可以做非常非常多的事情，那麼線段樹到底是什麼呢，我們就此瞭解下

一.基本概念

線段樹並非什麼特別進階的東西，顧名思義，它也就是一棵樹。那麼為什麼叫線段樹呢？因為樹的節點上存的就是一些區間，也就是線段。那麼它長啥樣呢？

嗯，如，就是一個區間[1,9]的線段樹。有些節點是葉子節點，葉子節點長度為1，不能繼續往下分。葉子節點記錄的資訊是最基本的資訊，而其他非葉子節點記錄的就是兩個兒子資訊的合并（合并的方法有很多，具體情況具體分析）。線段樹的左右區間分別為\([l,mid],(mid,r]\)。而且，由於線段樹是一顆二叉樹，並且線段樹是二分構造，所以它非常平衡，深度也是\(log_n\)層級的

怎麼記錄？記錄的話，可以學習堆的建造方法，當前點是\(p\)，左兒子即是\(p*2\)，右兒子就是\(p*2+1\)

二.操作

線段樹被發明出來，肯定有它的道理，線段樹由於能快速的支援一些操作，因此被廣泛使用

1.單點修改

進階資料結構必然要能修改值，修改的話，只需要從線段樹的根開始，一路查詢到葉子節點，更新完葉子節點後，再將葉子節點到根的路徑上的點一路更新一下即可。時間複雜度最大是線段樹的深度，即\(O(log_n)\)

void change(){//醜陋的虛擬碼，x是我要修改的點的位置    if (到達葉子節點)        修改當前節點;        return;    }    int mid=區間中點；    if (x<=mid) 對左兒子進行操作；    if (x>mid)  對右兒子進行操作；    更新；}

2.區間查詢

在瞭解區間查詢之前，我們先要知道區間分解

就是區間[2,8]的分解，紅色的節點表示終止節點。我們只要把所有的終止節點合并起來，就是我所要分解的區間。並且，每層的終止節點一定不會超過2個。所以說，區間查詢的時候只需要找到所有的終止節點即可，否則複雜度就上升到\(O(n log_n)\)，比暴力還差。終止節點每層做多2個，所以尋找的複雜度也是\(log_n\)量級的

那麼如何保證我只找到這些終止區間呢？

int query(){//依然是醜陋的虛擬碼//l,r是線段樹的區間，x,y是查詢區間    if (x<=l&&r<=y) 返回節點資訊;//線段樹的區間完全包含在查詢區間內    int mid=區間中點,ans;//如果不是完全包含則只需要做兩個判斷    if (x<=mid) ans=ans+左兒子資訊;//查詢的區間有部分在左兒子內    if (y>mid)  ans=ans+右兒子資訊;//查詢的區間有部分在右兒子內    return ans;}

（虛擬碼實在太醜……下面有一個真正的代碼）

三.例題1.

Description

給定一數列，規定有兩種操作，一是修改某個元素，二是求區間的連續和。

Input

輸入資料第一行包含兩個正整數n,m(n<=100000,m<=500000),以下是m行，
每行有三個正整數k,a,b(k=0或1, a,b<=n).
k=0時表示將a處數字加上b,k=1時表示詢問區間[a,b]內所有數的和。

Output

對於每個詢問輸出對應的答案。

暴力的話，\(O(n^2)\)的複雜度，如果\(n\)到了\(10^6\)的話，這顯然是不行的。這個時候，我們就需要用線段樹來完成這道題了。單點修改，區間查詢，用線段樹是很容易實現的

#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>using namespace std;const int N=1e5;int val[N*4+10];int read(){    int x=0,f=1;char ch=getchar();    for (;ch<‘0‘||ch>‘9‘;ch=getchar())    if (ch==‘-‘)    f=-1;    for (;ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘;ch=getchar())  x=x*10+ch-‘0‘;    return x*f;}void change(int p,int l,int r,int x,int t){    if (l==r){        val[p]+=t;        return;    }    int mid=(l+r)>>1;    if (x<=mid)  change(p*2,l,mid,x,t);    else    change(p*2+1,mid+1,r,x,t);//修改左右兒子，因為建樹的原因，所以在x<=mid的時候修改左兒子    val[p]=val[p*2]+val[p*2+1];}int get(int p,int l,int r,int x,int y){//對照虛擬碼即可    if (x<=l&&r<=y)   return val[p];    int mid=(l+r)>>1;    int ans=0;    if (x<=mid)  ans+=get(p*2,l,mid,x,y);    if (y>mid)   ans+=get(p*2+1,mid+1,r,x,y);    return ans;}int main(){    int n=read(),m=read();    for (int i=1;i<=m;i++){        int k=read(),x=read(),y=read();        if (!k) change(1,1,n,x,y);        if (k)  printf("%d\n",get(1,1,n,x,y));    }    return 0;}

對於簡單的單點修改和區間查詢，我們只需要考慮好節點上維護的資訊是什麼，該怎麼修改，詢問這些值即可。

2.

Description
給定一行n個正整數a[1]..a[n]。
m次詢問，每次詢問給定一個區間[L,R]，輸出a[L]..a[R]的最大公因數。

Input
第一行兩個整數n，m。
第二行n個整數表示a[1]..a[n]。
以下m行，每行2個整數表示詢問區間的左右端點。

Output
共m行，每行表示一個詢問的答案。

這題不牽涉到修改操作，只有查詢操作。但是查詢是尋找\(gcd\)。因此我們對於葉子節點維護點的值，非葉子節點就維護兩個兒子節點的\(gcd\)即可

#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>#include<algorithm>#define inf 0x7f7f7f7fusing namespace std;typedef long long ll;typedef unsigned int ui;typedef unsigned long long ull;inline int read(){    int x=0,f=1;char ch=getchar();    for (;ch<‘0‘||ch>‘9‘;ch=getchar())  if (ch==‘-‘)    f=-1;    for (;ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘;ch=getchar())    x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;    return x*f;}inline void print(int x){    if (x>=10)     print(x/10);    putchar(x%10+‘0‘);}const int N=1e3,limit=1e9;int tree[N*4+10];#define ls (p<<1)#define rs (p<<1|1)int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}void updata(int p){tree[p]=gcd(tree[ls],tree[rs]);}void build(int p,int l,int r){    if (l==r){        tree[p]=read();        return;    }    int mid=(l+r)>>1;    build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);    updata(p);}int query(int p,int l,int r,int x,int y){    if (x<=l&&r<=y) return tree[p];    int mid=(l+r)>>1,ans=0;    if (x<=mid) ans=gcd(ans,query(ls,l,mid,x,y));    if (y>mid)  ans=gcd(ans,query(rs,mid+1,r,x,y));    return ans;}int main(){    int n=read(),m=read();    build(1,1,n);    for (int i=1,x,y;i<=m;i++)  x=read(),y=read(),printf("%d\n",query(1,1,n,x,y));    return 0;}

四.尾聲

我們討論了這麼多，只是講了線段樹的單點修改和區間查詢。那麼區間修改該如何解決？請見線段樹之Lazy標記

演算法模板——線段樹