常用排列與組合的相關演算法

一、排列（permutation）

（1）遞迴方法 (非有序)

設R={r1,r2,...,rn}是要進行排列的n個元素，Ri = R-{ri}. 集合 X 中元素的全排列記為Perm(X)。(ri)Perm(X)表示在全排列Perm(X)的每一個排列上加首碼ri得到的排列。R的全排列可歸納定義如下：

當 n = 1 時， Perm(R) = (r),其中r 是集合R中唯一的元素；

當 n >1 時， Perm(R)有 (r1)Perm(R1),(r2)Perm(R2),.......,(rn)Perm(Rn)構成

依此遞迴定義，可設計產生Perm(R)的遞迴演算法如下：

=================================================

 

 

比如：abcd四個字元，

首先，考慮放在第一個位置的字元，將第一個字元與第一，二，三，四個字元交換。

1－1：abcd

1－2：bacd

1－3：cbad

1－4：dbca

其次，考慮第2到n個字元，用遞迴做。每次都要重新恢複字串的位置。

 

 

#include <iostream>

using namespace std;

 

template <class Type>

void Perm(Type list[], int k, int m)   // 求數組中k到m的元素的全排列

{

    if ( k == m )           //輸出一個相片順序

   {

        for ( int i = 0; i <= m; i++)

            cout << list[i];

        cout << endl;

    }

    else{              //list[k：m ]有多個相片順序,遞迴地產生這些相片順序 

        for ( int i = k; i <= m; i ++){

            Swap( list[k],list[i] );

            Perm( list,k + 1, m ) ;

            Swap( list[k], list[i] );

        }

    }

}

template < class Type >

inline void Swap ( Type &a ,Type & b)

{

    Type temp = a; a = b; b = temp;

}

 

測試程式：

int main()
{
  char list[]="abcdef";
  Perm(list,0,5);    //因為是0~5，所以求的是全排列
  return 0;
}

==========================================

（2）迴圈直接類比法——又叫字典序產生演算法 (有序)

字典序產生演算法（詳見：http://blog.csdn.net/goal00001111/archive/2008/11/18/3326619.aspx）：

 

設P是1～n的一個全排列:p = p1p2...pn  = p1p2...pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1...pn

1）從排列的右端開始，找出第一個比右邊數字小的數位序號j（j從左端開始計算），即j = max{i | pi < pi+1}

2）在pj的右邊的數字中，找出所有比pj大的數中最小的數字pk，即 k = max{i | pj < pi}

（右邊的數從右至左是遞增的，因此k是所有大於pj的數字中序號最大者）

3）對換pj，pk

4）再將pj+1......pk-1pkpk+1...pn倒轉得到排列p' = p1p2...pj-1pjpn......pk+1pkpk-1...pj+1，

這就是排列p的下一個排列。

例如839647521是數字1～9的一個排列。從它產生下一個排列的步驟如下：

自右至左找出排列中第一個比右邊數字小的數字4；

在該數字後的數字中找出比4大的數中最小的一個5；

將5與4交換得到839657421；                                                                      

將7421倒轉得到839651247；

所以839647521的下一個排列是839651247。

 

====================================

#include <iostream>
using namespace std;

void permutation(int n,long m)  //迴圈直接類比法又叫字典序產生演算法--輸出n個數的第m種全排列
{
 int *a=new int[n];
 for(int i=0;i<n;i++)   //產生原始數列
  a[i]=i+1;

 cout<<"第"<<m<<"個全排列是:"<<'/t';
 int left,right;
 long temp;
 for(i=1;i<m;i++)
 {
  left = n-2;
  while(left>=0 && a[left]>a[left+1])
   left--;         //得到一個left右邊是遞減的數列
  right = n-1;    //右邊界是最右邊的元素
  while(a[right]<a[left])  //找到左邊界右邊數組中比a[left]大的最小的元素
   right--;
  temp=a[left]; a[left]=a[right];a[right]=temp;   //左右的元素交換
  left++;
  right = n-1;
  while(left<right) )    //逆置左右邊界之間的元素，使其按增序排列
  {
   temp=a[left];
   a[left]=a[right];
   a[right]=temp;
   left++;
   right--;
  }
 }
 for(i=0;i<n;i++)
  cout<<a[i]<<" ";
 cout<<endl;
 delete []a;
}

int main()
{
 int n=12;
 for(int i=1000;i<10000001;i*=100)
  permutation(n,i);
 return 0;
}

 

========================================

 

二、組合(Combination)

來自：http://blog.csdn.net/xuhx/archive/2008/03/05/2150126.aspx

1.背景
上一篇介紹了枚舉排列元組的方法，本篇介紹枚舉組合元組的方法。上一篇介紹的枚舉排列元組的方法實際是枚舉的P(n,n)的元組，而不是通用的P(n,r)。但是本篇介紹完枚舉組合元組C(n,r)的方法後，就可以根據公式P(n,r)=C(n,r)*P(r,r)很容易地實現枚舉P(n,r)排列元組的方法了。

 

2.演算法步驟
假定有0,1,...,n-1這些元素，枚舉C(n,r)的元組。
（1）把組成組合的前r個元素從小到大排列，這當作組合的第一個元組。
0,1,...,r-1
（2）從後向前搜尋當前元組中的元素，發現第一個位置，如果此位置的元素還小於最大值，則把此位置的元素的值加1。此新元組是需要的元組。把此位置用i表示，則此位置的最大值為n-r+i-1。
（3）對i位置後的元素，後面的元素是前面的元素加1。
（4）如果（2）能夠構造新的元組則從（1）繼續。否則結束。

 

 

3.演算法代碼

 

 

#include <stdio.h>
#define MAX 100
typedef void OutProc(int [],int);
//output
void OutputCombination(int ary[],int n)
{
    static int count=0;
    int i;
    printf("%05d : ",++count);
    for(i=0;i<n;i++)
    {       
        printf("%d ",ary[i]);
    }
    printf(" /n");
}
//main algorithms
void Combination(int n,int r,OutProc proc)
{
    int ary[MAX];
    int i,k;
    for(i=0;i<r;i++) ary[i]=i;
    proc(ary,r);
    bool finished=false;
    while(!finished)
    {
        finished=true;
        for(i=r-1;i>=0;i--)
        {
            if(ary[i]<i+n-r)
            {
                ary[i]++;
                finished=false;
                for(k=i+1;k<r;k++)
                {
                    ary[k]=ary[k-1]+1;
                }
                proc(ary,r);
                break;
            }
        }
    }
}
//test
void combination_test()
{
    Combination(5,3,OutputCombination);
}
//main
int main()
{
    combination_test();
    return 0;
}
4.運算結果：

 

  00001 : 0 1 2
00002 : 0 1 3
00003 : 0 1 4
00004 : 0 2 3
00005 : 0 2 4
00006 : 0 3 4
00007 : 1 2 3
00008 : 1 2 4
00009 : 1 3 4
00010 : 2 3 4

 

 

=========================

比較實用的演算法——能夠計算出所有的組合數

 

（1）遞迴 

 

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int n,r;
int count = 0;
void printR(int a[])
{
 count++;
 for(int j = r-1;j>=0;j--)
  printf(" %d",a[j]);
 printf("/n");
}

void comb(int a[],int m,int k)
{
 for(int i=m;i>=k;i--)
 {
  a[k-1] = i;
  if(k>1)
   comb(a,i-1,k-1);
  else
   printR(a);
 }
}

int main()
{
 printf("n、r:");
 scanf("%d %d",&n,&r);
 int*a = (int*)malloc(sizeof(int)*n);
 comb(a,n,r);
 printf("Total number: %d",count);
 printf("/n");
 return 0;
}

 

 

 

（2）非遞迴

 

#include <time.h>    
#include <iostream>  
#include <iomanip>  
using namespace std;  

#define MAXN  100  
void comb(int m,int r)  
{        
 //a[r]是定位元組,用於指示選取元素集合數組的位置，選取元素集合數組0   起始  
 int*a = new int[r]; 
 int cur;//指示定位元組中哪個成員正在移進     
 unsigned   int   count=0;      
 //初始化定位元組，0   起始的位置   ，開始的選擇必是位置   0，1，2  
 for(int   i=0;i<r;i++)  
  a[i]=i;    
 cur=r-1;//當前是最後一個成員要移進     
 cout<<"組合結果:"<<endl;
 while(1)
 {  
  if(a[cur]-cur<=m-r)
  {       
   count++;      
   for(int j=0;j<r;j++)  
    cout<<setw(4)<<a[j];  
   cout<<endl;      
   a[cur]++;      
   continue;  
  }  
  else
  {  
   if(cur==0)
   {  
    cout<<"總數是: "<<count<<endl;  
    break;  
   }      
   a[--cur]++;      
   for(int i=1;i<r-cur;i++)
   {  
    a[cur+i]=a[cur]+i;  
   }      
   //memcpy((void*)(a+cur+1),(void*)(b+a[cur]+1),sizeof(int)*(r-cur-1));原以為用記憶體移動效率比上面迴圈會高，可是......  
   if(a[cur]-cur<m-r)  
    cur=r-1;                                  
  }  
 }  
 delete []a;
}  

void printtime(void)   //列印目前時間的函數        
{    
 char tmpbuf[128];    
 time_t ltime;    
 struct tm *today;    
   
 time(&ltime);    
 today = localtime(&ltime);    
 strftime(tmpbuf,128,"%Y-%m-%d  %H:%M:%S",today);    
 cout<<tmpbuf<<endl;    
}    

int main(int argc, char* argv[])  
{     
 int m,r;  
 cout<<"m(總數): ";  
 cin>>m;  
 cout<<"r(取數): ";  
 cin>>r;  
 printtime();  
 comb(m,r);          
 printtime();  
 return(0);  
}