一道演算法題-八皇后問題(C++實現)

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八皇后問題

一、題意解析

　　國際象棋中的皇后，可以橫向、縱向、斜向移動。如何在一個8X8的棋盤上放置8個皇后，使得任意兩個皇后都不在同一條橫線、豎線、斜線方向上？八皇后問題是一個古老的問題，於1848年由一位國際象棋棋手提出：在8×8格的國際象棋上擺放八個皇后，使其不能互相攻擊，即任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上，如何求解？以高斯為代表的許多數學家先後研究過這個問題。後來，當電腦問世，通過電腦程式的運算可以輕鬆解出這個問題。

二、如何解決八皇后問題？

　　所謂遞迴回溯，本質上是一種枚舉法。這種方法從棋盤的第一行開始嘗試擺放第一個皇后，擺放成功後，遞迴一層，再遵循規則在棋盤第二行來擺放第二個皇后。如果當前位置無法擺放，則向右移動一格再次嘗試，如果擺放成功，則繼續遞迴一層，擺放第三個皇后......

　　如果某一層看遍了所有格子，都無法成功擺放，則回溯到上一個皇后，讓上一個皇后右移一格，再進行遞迴。如果八個皇后都擺放完畢且符合規則，那麼就得到了其中一種正確的解法。說起來有些抽象，我們來看一看遞迴回溯的詳細過程。

　　1.第一層遞迴，嘗試在第一行擺放第一個皇后：

　　2.第二層遞迴，嘗試在第二行擺放第二個皇后（前兩格被第一個皇后封鎖，只能落在第三格）：

　　3.第三層遞迴，嘗試在第三行擺放第三個皇后（前四格被第一第二個皇后封鎖，只能落在第五格）：

　　4.第四層遞迴，嘗試在第四行擺放第四個皇后（第一格被第二個皇后封鎖，只能落在第二格）：

　　5.第五層遞迴，嘗試在第五行擺放第五個皇后（前三格被前面的皇后封鎖，只能落在第四格）：

　　6.由於所有格子都“綠了”，第六行已經沒辦法擺放皇后，於是進行回溯，重新擺放第五個皇后到第八格。：

　　7.第六行仍然沒有辦法擺放皇后，第五行也已經嘗試遍了，於是回溯到第四行，重新擺放第四個皇后到第七格。：

　　8.繼續擺放第五個皇后，以此類推......

三、八皇后問題的代碼實現

　　解決八皇后問題，可以分為兩個層面：

1.找出第一種正確擺放方式，也就是深度優先遍曆。

2.找出全部的正確擺放方式，也就是廣度優先遍曆。

 我們本篇只介紹如何找出第一種正確擺放方式。具體代碼如下：

  1 //"八皇后問題回溯實現"  2 #include <iostream>  3 using namespace std;  4 const int ArSize = 8;//這個數等於幾，就是幾皇后。  5 int num = 0;  6 void solve(bool arr[ArSize][ArSize], int row);  7 bool check(bool arr[ArSize][ArSize], int row, int column);  8 void outPut(bool arr[ArSize][ArSize]);  9  10 int main() 11 { 12     bool chessboard[ArSize][ArSize]; 13     // 數組初始化 14     for (auto &i : chessboard) 15     { 16         for (auto &j : i) 17         { 18             j = false; 19         } 20     } 21     solve(chessboard, 0); 22     cout << "八皇后問題共有" << num << "種解！" << endl; 23     system("pause"); 24     return 0; 25 } 26 // 回溯法 27 void solve(bool arr[ArSize][ArSize], int row) 28 { 29     for (int column = 0; column < ArSize; ++column) 30     { 31         arr[row][column] = true; 32         if (check(arr, row, column)) 33         { 34             if (row + 1 == ArSize) 35             { 36                 outPut(arr); 37             } 38             else 39             { 40                 solve(arr, row + 1); 41             } 42         } 43         arr[row][column] = false; 44     } 45 } 46 // 判斷皇后的落點是否合規 47 bool check(bool arr[ArSize][ArSize], int row, int column) 48 { 49     if (row == 0) 50     { 51         return true; 52     } 53     int i, j; 54     // 判斷縱向是否有衝突 55     for (i = 0; i < row; ++i) 56     { 57         if (arr[i][column]) 58         { 59             return false; 60         } 61     } 62     i = row - 1; 63     j = column - 1; 64     // 判斷正斜對角線是否有衝突 65     while (i >= 0 && j >= 0) 66     { 67         if (arr[i][j]) 68         { 69             return false; 70         } 71         --i; 72         --j; 73     } 74     i = row - 1; 75     j = column + 1; 76     // 判斷負斜對角線是否有衝突 77     while (i >= 0 && j <= ArSize - 1) 78     { 79         if (arr[i][j]) 80         { 81             return false; 82         } 83         --i; 84         ++j; 85     } 86     return true; 87 } 88 // 列印每種正確的解法 89 void outPut(bool arr[ArSize][ArSize]) 90 { 91     ++num; 92     cout << "**********************" << num << "*********************" << endl; 93     for (int i = 0; i < ArSize; ++i) 94     { 95         for (int j = 0; j < ArSize; ++j) 96         { 97             cout << arr[i][j] << " "; 98         } 99         cout << endl;100     }101     cout << "*********************************************" << endl;102 }

　　輸出結果的部分如下：

 

 

參考資料：

http://www.cnblogs.com/yonggandefeng/p/6275861.html

一道演算法題-八皇后問題(C++實現)