演算法導論————斜率最佳化

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【例題傳送門：BZOJ1010】BZOJ1010: [HNOI2008]玩具裝箱toy

【題意】
給出n條連續線段，每條線段都有長度為x[i]，我們可以把連續若干條線段連在一起，變成一個組合，兩條線段如果相連，就要在兩條線段中間添加一個長度為1的格子（如果沒有相連就不用添加），假如我們現在選擇把第i條到第j條線段之間的所有線段變成一組合的話，這個組合的總長度就為：x[i]+x[i+1]+x[i+2]+x[i+3]+...+x[j]+j-i，現在給出一個常數L，假設當前選擇的組合的長度為s，那麼這個組合就為我們產生了(s-L)^2的費用，求出把n條線段分成若干組合所需要的最小費用，單獨的線段可以成為一個組合
【輸入檔案】
第一行兩個整數，分別為N和L。
下來N個數字xi，按編號從小到大輸入每個物品的容量。
1<=N<=50000,1<=L，xi<=10^7
【輸出檔案】
一個整數，總花費的最小值。
【範例輸入】
5 4
3 4 2 1 4
【範例輸出】
1

演算法分析：

　　斜率最佳化其實就是一個用來最佳化DP的演算法，但必須當DP方程具有單調性的時候才能使用

　　下來我們用例題來說明斜率最佳化

　　f[i]表示1~i的最小花費。
　　f[i]=min(f[j]+(sum[i]-sum[j]+i-(j+1)-L)^2) (j<i)
　　f[i]=min(f[j]+(sum[i]+i-sum[j]-j-1-L)^2) (j<i)
　　令s[i]=sum[i]+i,L=1+L
　　則f[i]=min(f[j]+(s[i]-s[j]-L)^2)

 

　　首先我們先來證明決策單調性
　　假設j1<j2<i,在狀態i處的j2決策不比j1決策差（心裡想著淘汰j1），
　　即要滿足：f[j2]+(s[i]-s[j2]-L)^2<f[j1]+(s[i]-s[j1]-L)^2
　　則對於i後的所有狀態t，是否j2也不比就j1差？（術語：證明決策單調性）
　　即f[j2]+(s[t]-s[j2]-L)^2 < f[j1]+(s[t]-s[j1]-L)^2
　　容易理解s[t]=s[i]+v
　　所以得到（1）不等式：f[j2]+(s[i]-s[j2]-L+v)^2<f[j1]+(s[i]-s[j1]-L+v)^2
　　因為已知（2）不等式：f[j2]+(s[i]-s[j2]-L)^2<f[j1]+(s[i]-s[j1]-L)^2
　　所以化簡（1）不等式：把s[i]-s[j2]-L看成一個整體，v看成一個整體，得到：
　　f[j2]+(s[i]-s[j2]-L)^2+2*v*(s[i]-s[j2]-L)+v^2 <f[j1]+(s[i]-s[j1]-L)^2+2*v*(s[i]-s[j1]-L)+v^2

　　比較（2）不等式：
　　左邊多了一部分：2*v*(s[i]-s[j2]-L)+v^2
　　右邊多了一部分：2*v*(s[i]-s[j1]-L)+v^2
　　所以我們只需要證：
　　2*v*(s[i]-s[j2]-L)+v^2<=2*v*(s[i]-s[j1]-L)+v^2
　　即：(s[i]-s[j2]-L)<=(s[i]-s[j1]-L)
　　即： -s[j2] <= -s[j1]
　　即：s[j1]<s[j2]這是肯定的，所以得證。
　　總結：對於當前i：j2比j1好，那麼對於t(i<t)來說一樣：j2一樣比j1好，
　　所以當前i選擇j2，淘汰j1，以後的t也不會在j2存在的時候選擇j1
　　所以i的時候就可以永久淘汰j1

　　然後來求斜率方程
　　因為f[j2]+(s[i]-s[j2]-L)^2<=f[j1]+(s[i]-s[j1]-L)^2
　　展開:
　　f[j2]+(s[i]-L)^2-2*(s[i]-L)*s[j2]+s[j2]^2<=f[j1]+(s[i]-L)^2-2*(s[i]-L)*s[j1]+s[j1]^2
　　即f[j2]-2*(s[i]-L)*s[j2]+s[j2]^2<=f[j1]-2*(s[i]-L)*s[j1]+s[j1]^2
　　即f[j2]+s[j2]^2-2*(s[i]-L)*s[j2]<=f[j1]+s[j1]^2-2*(s[i]-L)*s[j1]
　　即[(f[j2]+s[j2]^2)-(f[j1]+s[j1]^2)]<=2*(s[i]-L)*s[j2]-2*(s[i]-L)*s[j1]
　　即[(f[j2]+s[j2]^2)-(f[j1]+s[j1]^2)]/(s[j2]-s[j1])<=2*(s[i]-L)
　　對於j來說：
　　製造的點座標
　　Y=f[j]+s[j]^2
　　X=s[j]
　　我們用隊列list在存有意義的決策點，list中相鄰兩點的斜率遞增（隊列中的點形成一個下凸殼），而且都大於2*(s[i]-L)，那麼隊列頭對於i來說就是最優決策點
　　加入決策i時，令隊尾為list[tail]，前一個為list[tail-1]

　　斜率函數slop（點1，點2）
　　滿足:slop(list[tail-1],list[tail])>slop(list[tail],i)時，
　　那麼隊尾list[tail]在三者（list[tail-1],list[tail],i）對於未來的tail絕對不會是最優的策略，所以將其彈出tail--
　　最後遇到了：slop(list[tail-1],list[tail])<slop(list[tail],i),保證了隊列的相鄰兩點的斜率遞增所以加入i：list[++tail]=i;

　　然後f[n]就是答案了

參考代碼：

#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;long long f[51000],q[51000],s[51000];int n,L;double X(int i){    return 2.0*s[i];}double Y(int i){    return f[i]+(s[i]+L)*(s[i]+L);}double slop(int i,int j){    return (Y(j)-Y(i))/(X(j)-X(i));}int main(){    scanf("%d%d",&n,&L);L++;    s[0]=0;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        int x;        scanf("%d",&x);x++;        s[i]=s[i-1]+x;    }    int l=1,r=1;q[1]=0;    for(int i=1;i<=n;i++)    {        while(l<r&&slop(q[l],q[l+1])<=s[i]) l++;        int j=q[l];        f[i]=f[j]+(s[i]-s[j]-L)*(s[i]-s[j]-L);        while(l<r&&slop(q[r-1],q[r])>slop(q[r],i)) r--;        q[++r]=i;    }    printf("%lld\n",f[n]);    return 0;}

 

 

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