歐拉函數演算法分析__——————數學——————

在數論中，對正整數N，歐拉函數是小於或等於N的數中與N互質的數的數目。

N的歐拉函數值記為 phi（n）

例如 phi（8）=4   （4個與8互質的數分別為 1  3  5  7）

通式：   ,其中p1, p2……pn為x的所有質因數，x是不為0的整數。φ(1)=1（唯一和1 互質 的數(小於等於1)就是1本身）。 (注意：每種質因數只一個。比如12=2*2*3那麼φ（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4

故求phi(x)模板為：

int phi(int x){//註：ans即為phi(x)的值    int ans=x;//先令phi(x)=x,公式中的前部分    for(int i=2;i*i<=x;i++){//枚舉每個數（注意，phi要求的因子是質數，而這裡枚舉的是所有數。至於為什麼要這麼枚舉，請看代碼下邊的解釋）        if(x%i==0){//如果這個數是因子            ans-=ans/i;//套公式x*(1-1/pi)=x-x/pi即這裡的ans-=ans/i;            while(x%i==0) x/=i;//篩去phi(x)中x的所有i因子        }    }    if(x>1)//篩後有剩餘的數，說明這個數也是一個質因子        ans-=ans/x;//同理套公式    return ans;//答案}

在這裡解釋一下為什麼要枚舉每個數：

很簡單本模板中“從小到大枚舉每個數“和”從小到大枚舉每個質數“是一樣的

因為所有合數都可以被分解為質數相乘的形式。

注意到while(x%i==0) x/=i;

x每次都會篩去質因子，

比如在phi（8）

4這個合數因子，已經在篩2這個質因子時篩去了

因為4=2*2，而篩到2時，所有的因子2已被篩去。

此時，phi（X）中x的值已經改變，不再是8。

篩到4的時候x%4不會==0。

那麼如果我們需要打出phi（MAXN）的表該怎麼做呢。不用把上面的模板從1迴圈到MAXN。我們有更機智的做法。

模板：

int p[MAXN];void phi(){    for(int i=1;i<MAXN;i++) p[i]=i;    for(int i=2;i<MAXN;i++){        if(p[i]==i){            for(int j=i;j<MAXN;j+=i)                p[j]-=p[j]/i;        }    }}

如果你會素數篩的話，恭喜你，這就是個素數篩。

 只不過在素數篩中我們篩出的每個素數是用來存起來的

 而在這裡我們篩出的每個素數

 作為一個素因子

 “主動地”去找包含這個素因子的數

 然後套公式。