動態規劃中的買書問題分析

題目來源：http://www.cnblogs.com/SDJL/category/154361.html

有一書店引進了一套書，共有3卷，每卷書定價是60元，書店為了搞促銷，推出一個活動，活動如下：

如果單獨購買其中一卷，那麼可以打9.5折。

如果同時購買兩卷不同的，那麼可以打9折。

如果同時購買三卷不同的，那麼可以打8.5折。

如果小明希望購買第1卷x本，第2卷y本，第3卷z本，那麼至少需要多少錢呢？（x、y、z為三個已知整數）。

當然，這道題完全可以不用動態規劃來解，但是現在我們是要學習動態規劃，因此請想想如何用動態規劃來做？

答案：

1、過程為一次一次的購買，每一次購買也許只買一本（這有三種方案），或者買兩本（這也有三種方案），或者三本一起買（這有一種方案），最後直到買完所有需要的書。

2、最後一步我必然會在7種購買方案中選擇一種，因此我要在7種購買方案中選擇一個最佳情況。

3、子問題是，我選擇了某個方案後，如何使得購買剩餘的書能用最少的錢？並且這個選擇不會使得剩餘的書為負數。母問題和子問題都是給定三卷書的購買量，求最少需要用的錢，所以有“子問題重疊”，問題中三個購買量設定為參數，分別為i、j、k。

4、的確符合。

5、邊界是一次購買就可以買完所有的書，處理方式請讀者自己考慮。

6、每次選擇最多有7種方案，並且不會同時實施其中多種，因此方案的選擇互不影響，所以有“子問題獨立”。

7、我可以用minMoney[i][j][k]來儲存購買第1卷i本，第2卷j本，第3卷k本時所需的最少金錢。

8、共有x * y * z個問題，每個問題面對7種選擇，時間為：O( x * y *z * 7) = O( x * y* z )。

9、用函數MinMoney(i,j,k)來表示購買第1卷i本，第2卷j本，第3卷k本時所需的最少金錢，那麼有：

MinMoney(i,j,k)=min(s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7),其中s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7分別為對應的7種方案使用的最少金錢：

s1 = 60 * 0.95 + MinMoney(i-1,j,k)

s2 = 60 * 0.95 + MinMoney(i,j-1,k)

s3 = 60 * 0.95 + MinMoney(i,j,k-1)

s4 = (60 + 60) * 0.9 + MinMoney(i-1,j-1,k)

s5 = (60 + 60) * 0.9 + MinMoney(i-1,j,k-1)

s6 = (60 + 60) * 0.9 + MinMoney(i,j-1,k-1)

s7 = (60 + 60 + 60) * 0.85 +MinMoney(i-1,j-1,k-1)

 

分析：

我在看完金礦問題的分析之後，對動態規劃有了一個比較清晰的認識了，但是在看到這道練習題以及其答案分析之後，不知道什麼意思，不知道是我太笨還是怎麼回事，讓我想了將近半個小時才想明白，現將我的心得體會陳述如下：

在一開始我看到這個題的時候我就想，小明希望購買第1卷x本，第2卷y本，第3卷z本，這樣的話他就購買了一套書的三冊了。按理說這批書就應該可以打8.5折，但是這樣就沒有動態規劃的用武之地了。最後我又好好的想了想，其實店家打折的種類條件不是按照你這批書總的種類來分的，而是按照該批書能組合成多少套來分的，其打折條件是對每一套書來說的，不是對總的種類。比如：小明要購買第1卷1本，第2卷2本，第3卷3本，在不考慮用錢最少的情況下，店家會這樣計算書錢，第1卷1本，第2卷1本，第3卷1本這個組合能組合成一套書，滿足打折條件3。剩下第2卷1本，第3卷2本，可以組合成第2卷1本，第3卷1本，滿足打折條件2。最後剩一本第3卷，這樣就只滿足打折條件3。

本問題之所以要用動態規劃分析如下：

從中可以看出:

(1)  母問題A為給定總的買書量，我們要確定買這些書的最少花錢數，將這個母問題A分解為7個子問題，1…7，分別表示在買相應卷的情況下剩下部分所需的最少錢數。

(2)   當考慮子問題1時，其過程跟考慮母問題A是一樣的，這就是“子問題重疊”而且個子問題是相互獨立的，所以滿足“子問題獨立”。

(3)  在每一個子問題中選擇min組合，所以滿足“子問題最優”。

(4)  邊界就是把子問題劃分到最後所得到的形式，該形式為屬於“第1卷1本，第2卷1本，第3卷1本 ”這三種組合的某個可能組合，總共的組合數為(C31+C32+C33)。

(5)  以下跟作者雷同：

(6)  我可以用minMoney[i][j][k]來儲存購買第1卷i本，第2卷j本，第3卷k本時所需的最少金錢。

(7)  8、共有x * y * z個問題，每個問題面對7種選擇，時間為：O( x * y *z * 7) = O( x * y* z )。

(8)  用函數MinMoney(i,j,k)來表示購買第1卷i本，第2卷j本，第3卷k本時所需的最少金錢，那麼有：

(9)  MinMoney(i,j,k)=min(s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7),其中s1,s2,s3,s4,s5,s6,s7分別為對應的7種方案使用的最少金錢：

s1 = 60 * 0.95 + MinMoney(i-1,j,k)

s2 = 60 * 0.95 + MinMoney(i,j-1,k)

s3 = 60 * 0.95 + MinMoney(i,j,k-1)

s4 = (60 + 60) * 0.9 + MinMoney(i-1,j-1,k)

s5 = (60 + 60) * 0.9 + MinMoney(i-1,j,k-1)

s6 = (60 + 60) * 0.9 + MinMoney(i,j-1,k-1)

s7 = (60 + 60 + 60) * 0.85 +MinMoney(i-1,j-1,k-1)

實現程式如下：（未完待續）