和角公式

今天做 SICP 練習 1.15，需要用到和角公式，雖然會寫，但是忘了怎麼證明了，在 mathworld 裡找到了很精彩的證明：

這裡用到了歐拉公式，之前發過日誌記錄了證明了，不過發現用積分來證十分巧妙！

; SICP ex1.15

; 在弧度 x 很小時，其正弦值 sinx 可以用 x 代替。

; 並且有恒等式 sinx = 3sin(x/3) - 4sin3(x/3)

; 使用 DrScheme 執行

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(define (cube x) (* x x x))
(define (p x) (- (* 3 x) (* 4 (cube x))))
(define (sine angle)
  (if (not (> (abs angle) 0.01))
  angle
  (p (sine (/ angle 3.0)))))

; 和標準函數比較

>(sine 0.5)

0.4794283252628956

> (sin 0.5)
0.479425538604203

=====================C 程式========================

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define eps 0.01

double sine(double x)
{
 if(fabs(x) < eps) return x;
 double sine3th = sine(x / 3.0);
 return 3 * sine3th - 4 * sine3th * sine3th * sine3th;
}

int main()
{
 printf("%.6f/n", sine(0.5));
 printf("%.6f/n", sin(0.5));
 return 0;
}

====================================================

演算法時間複雜度為 log3(x / eps)。