逆波蘭式與卡塔蘭數

　　讀了我的上篇文章“一個 Lua 的湊24程式”的讀者可能會產生這樣的疑問：

1. 為什麼由 4 個數字和 3 個運算子組成的合法的逆波蘭式就只有那 5 種？你是怎麼窮舉的？
2. 為什麼不寫程式自動求出所有的合法逆波蘭式，而非要手算？

　　為了討論這兩個問題，我們先來看下面的問題：

 

問題1（出棧序列問題）：數 1 ~ n 按順序入棧（棧是後進先出的），任何時刻你可以選擇讓下一個數入棧，或者讓當前棧頂元素出棧（若棧非空）。求所有可能的出棧序列的個數。

例：

若 n = 2，有兩種：

1. 進進出出，得到出棧序列：2 1
2. 進出進出，得到出棧序列：1 2

若 n = 3，有五種：（下面以 1 表示進棧，-1 表示出棧）

1. 1 -1 1 -1 1 -1，得到：1 2 3
2. 1 -1 1 1 -1 -1，得到：1 3 2
3. 1 1 -1 -1 1 -1，得到：2 1 3
4. 1 1 -1 1 -1 -1，得到：2 3 1
5. 1 1 1 -1 -1 -1，得到：3 2 1

　　我們注意到：n = 3 時的出棧序列有 5 種，正好跟 4 個數字和 3 個運算子構成的逆波蘭式個數相等！

 

　　於是我們猜想：這兩個問題是等價的。

 

　　為了證實這個猜想，我們把出棧序列問題改寫成下面的形式：

問題2（1，-1排列問題）：將 n 個 1 和 n 個 -1 排成序列 S2n，使得對任意的 k ∈[1, 2n]，滿足，。求所有排列的個數。

　　注意到在問題1中，若出棧入棧操作的排列順序不同，則最後得到的數字序列也一定不同，因此出棧序列數就等於操作的排列個數，於是問題1與問題2等價。

 

　　回顧逆波蘭式的計算過程：每當遇到一個數字，就入棧，相當於棧中元素個數 +1，而每遇到一個運算子就出棧兩個數字，運算後結果入棧，相當於棧中元素個數 -1。我們還要求中間任何一步時棧中元素個數≥1。

 

　　如果把入棧操作（或 1）對應於逆波蘭式中的數字，出棧操作（或 -1）對應於逆波蘭式中的運算子，我們立即得到：

 

　　n + 1 個數字和 n 個運算子組成的合法逆波蘭式的個數問題，與 n 個數的出棧序列問題等價。不同之處在於逆波蘭式問題中，棧裡始終有一個數字。

 

　　再做進一步聯想，逆波蘭式相當於對錶達式樹做後序遍曆，於是我們不禁要問：逆波蘭式的個數問題與運算式樹狀架構，或者說二叉樹的個數問題是否等價？

問題3（二叉樹計數）：求 n 個結點的二叉樹的個數。

 

例：當 n = 3 時，有 5 種：

　　為了進一步討論這個問題，我們先來看一下如何求 n 個數的出棧序列的個數 Cn。

 

　　為此我們將 1，-1 排列問題改寫成下面的 x ≥ y 格路問題。

 

問題4（x≥y格路問題）在 n * n 的方格中每次只能要麼向右走，要麼向上走。在 x ≥ y 的地區中，從 A 到 B 有多少種走法？

 

　　將 1 與向右對應，-1 與向上對應，不難看出這兩個問題的等價性。

 

　　下面就來求解這個問題。

 

　　設走法數為 Cn，考慮尋找 Cn 的遞推公式。

 

　　以下將 A 到 B 的那條斜線稱為“大斜線”，斜線上的點記為 A0(= A), A1, A2, ... , An(= B)。

 

　　有如下推論：從 A 到 B，且不經過 A1, A2, ... , An-1 中任何一點的走法有 Cn-1 種。

 

證：從 A 到 B，且不經過 A1, A2, ... , An-1 中任何一點相當於從 D 走到 E 的 x≥y格路問題，故有 Cn-1 種走法。證畢。

 

　　對於從 A 到 B 的任意一條路徑，記這條路徑中，第一次碰到大斜線的那個點為 F。則我們可以把 A 到 B 的所有路徑分成如下 n 類：

 

　　F = A1
　　F = A2
　　...
　　F = An = B

 

　　注意前面 F 的定義是第一次碰到大斜線，故 F 之前的路徑都沒碰到。易證對於任意一條 A 到 B 的路徑 L，它一定屬於某一個分類，而且不可能同時屬於兩個不同的分類。可見這些分類是互不相交的，而且正好完全覆蓋了 A 到 B 的所有路徑。

 

　　於是我們可以分別計算每一類的數量。

 

　　對 F = Ai，顯然 A 到 F 以及 F 到 B 可以看成 i 階和 n - i 階 x≥y格路問題，又由於 A 到 F 時沒有碰大斜線，故有 Ci-1 種，而 F 到 B 有 Cn-i 種，故由乘法原理，第 i 類有：Ci-1Cn-i 種。加起來得：

 

Cn = C0Cn-1 + C1Cn-2 + ... + Cn-1C0 ，　　　C0 = 1　　　(1)

　　這樣我們就得到了 Cn 的遞推公式。

 

　　下面再來看二叉樹計數問題。設 n 個結點的二叉樹有 Cn 種，除去根之後還有 n-1 個結點，給左子樹分 i 個結點，則右子樹有 n-1-i 個結點。顯然左右子樹分別化為兩個低階的二叉樹計數問題。於是令 i 從 0 取到 n-1，我們得到：

Cn = C0Cn-1 + C1Cn-2 + ... + Cn-1C0 ，　　　C0 = 1

　　與上面的遞推公式一樣。故：二叉樹計數問題與逆波蘭式計數問題等價。

問題5（多邊形劃分）：將 n+2 邊凸多邊形劃分成三角形，只能在兩個頂點之間連線，每個頂點看作是不同的。有多少種劃分方法？

例：n = 3 時，五邊形顯然有五種劃分，即從每個頂點連出兩條線。

 

　　這個問題與前面幾個問題的等價性留給讀者自證。

 

　　下面我們就來求解遞推關係 (1) 式。

問題6：已知：C0 = 1，Cn = C0Cn-1 + C1Cn-2 + ... + Cn-1C0。求：Cn。

解：（母函數法）

 

　　將數列 {Cn} 作為形式冪級數的係數，構造出數列 {Cn} 的母函數：

 

　　　　f(x) = C0 + C1x + C2x2 + ... + Cnxn + ...

 

　　於是：

 

　　　　f2(x) = (C0 + C1x + C2x2 + ... + Cnxn + ...) * (C0 + C1x + C2x2 + ... + Cnxn + ...)

　　　　 = C0C0 + (C0C1 + C1C0)x + (C0C2 + C1C1 + C2C0)x2 + ...

　　　　 = C1 + C2x + C3x2 + ... + Cn+1xn + ...

 

　　將上式兩邊同乘以 x，再加 C0(= 1)，得：

 

　　　　1 + xf2(x) = C0 + C1x + C2x2 + ... + Cn+1xn+1 + ...

　　　　 = f(x)

 

　　於是我們得到關於 f(x) 的方程：

 

　　　　1 + xf2(x) = f(x)

 

　　解之，得：

 

　　　　　　　(2)

 

　　對上式作泰勒展開（準確說是形式冪級數展開，反正就那個東西）：

 

　　回顧泰勒公式：

 

　　　　

 

　　令 x = -4x，a = 1/2 代入，得：

 

　　　　

 

　　其通項可化為：

 

　　　　

　　　　

 

　　由於 Cn > 0，故可知 (2) 式中應取負號。上面的通項取負後，再除以 2x，得到 f(x) 的通項：

 

　　　　

 

　　故：

 

　　　　

　　　　

　　這個數在組合數學中被稱為卡塔蘭（Catalan）數。

 

　　由此我們看到，從一個看似簡單的逆波蘭式計數問題，可以挖掘出這麼多東西，其實寫程式枚舉所有合法的逆波蘭式是可以的，相當於枚舉所有滿足要求的 1，-1 序列。只不過對於一個湊24程式來說太複雜，就省了。

 

　　下面是我的枚舉 1，-1 序列程式：

#include <stdbool.h><br />#include <stdio.h></p><p>/**<br /> * 根據當前的序列和 n，得到下一個序列。<br /> * 對這個函數來說，第一個序列是 1，-1 交錯狀態，<br /> * 最後一個序列是前面全是 1，後面全是 -1。<br /> *<br /> * @param ar 當前序列值，必須有 2n 項<br /> * @param n<br /> * @return true若下一個序列存在，false若當前已經是最後一個序列<br /> */<br />bool nextSeq(int ar[], int n)<br />{<br /> int sm1, s1;<br /> int i = 2 * n - 1;<br /> while (ar[i] == -1) // 尋找末尾連續的 -1<br /> {<br /> i--;<br /> }<br /> sm1 = 2 * n - i;<br /> while ((ar[i] == 1)&&(i >= 0)) // 尋找 -1 之後連續的 1<br /> {<br /> i--;<br /> }<br /> if (i < 0)<br /> {<br /> return false;<br /> }<br /> s1 = 2 * n - 1 - i - sm1;<br /> ar[i] = 1; // 將這個 -1 改成 1<br /> i++;<br /> int j;<br /> // 填充剩下的<br /> for (j = sm1 - s1; j > 0; j--)<br /> {<br /> ar[i] = -1;<br /> i++;<br /> }<br /> for (j = s1; j > 0; j--)<br /> {<br /> ar[i] = 1;<br /> ar[i + 1] = -1;<br /> i += 2;<br /> }<br /> return true;<br />}</p><p>int main(int argc, char *argv[])<br />{<br /> int n = 4;<br /> int ar[2 * n];<br /> int i;<br /> int count = 0;<br /> for (i = 0; i < n; i++)<br /> {<br /> ar[2 * i] = 1;<br /> ar[2 * i + 1] = -1;<br /> }<br /> do<br /> {<br /> for (i = 0; i < 2 * n; i++)<br /> {<br /> printf("%d ", ar[i]);<br /> }<br /> printf("/n");<br /> count++;<br /> } while(nextSeq(ar, n));<br /> printf("count: %d/n", count);<br /> return 0;<br />}<br />

　　這個程式用 C 語言編寫（C 不是 C++ ！），用到了部分 C99 特性，比如 bool 型，棧上的動態大小數組等，編譯器用的是 GCC 4.5。所以如果你用 VC++ 可能必須改代碼才能編譯通過，但用 codepad（http://codepad.org/）可以編譯通過並運行。codepad 的運行結果：http://codepad.org/3u8eLcar

 

　　修改 main 函數中 n 的值可以輸出不同的 n 的值的結果。nextSeq() 函數根據當前的序列計算下一個序列，時間複雜度 O(n)。