任意自然數分解為連續自然數和問題

 

          前天，得知一個朋友去了網易應聘，只是在筆試中遇到幾個比較麻煩的演算法問題(主要是在考試限時內有難度)，告訴我們幾個相熟的共同探討，任意自然數N分解為連續自然數和問題就是其中之一。這個問題很容易就能得到其長為k+1的序列和必然有等於0~k之和加上k+1個m的規律，但是要想得到高效的演算法就必須先找到一個理想的邊界條件，這樣才能有效減少不必要的尋找，一旦邊界不對則得不到完整正確的解。一開始我總想直接求出最長序列以便得到其長度，然而實在是數學功底差，不得不求其次另找了個差一些的條件，這個條件就是：噹噹前序列的長度k對應的0~k之和大於該自然數N時，測試終止。這個原理很容易理解吧？

以下就是代碼：

#include <iostream>
#include <cmath>

using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;

int main(void)
...{
    int N = 0;
    cout<<"請輸入N: ";
    while(!(cin>>N))
    ...{    
        cout<<"input fail,please retry!"<<endl;
        cout<<"請輸入N: ";
        cin.clear();
    }
    int k = 0;
    int m = N;
    int i = 0;
    int big,small,pre_i;//這裡的幾個變數不過十位了讓代碼的含義更清晰,其實完全可以省略.
    int j = 0;               //這個主要是為了測試和分析方便,也不是必要的.
    do
    ...{
        pre_i = k = k+i;
        m = (N-k)/(i+1);
        if(N == m*(i+1)+k)
        ...{
            big = m+i;
            small = m;
            ++j;
            cout<<"circle ["<<i+1<<"];  from  "<<small<<"  to  "<<big<<endl;
        }
        ++i;
    }while(N>pre_i+1);//如果N<pre_i(前i項和),說明達到最長序列
    cout<<"circles["<<i<<"]  total "<<j<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

 

下面是測試1：

可以看出，就這個數字來說，複雜度相差很小，近乎理想。那麼再試試另一個：

看看，和理想的640次迴圈相比多了將近一倍。然而這個差距並非單調遞增的。

不過效率還是可以的，在我的酷睿E6300機器上可以說一閃而過，主要是輸出操作佔用了比較長的時間。

 

        然而。。。。。當N接近資料類型上限時，溢出問題太嚴重了，補救方法是將while迴圈條件中的資料強制轉換成無符號以提高資料上限。儘管數學理論沒有錯，但是顯然不適合電腦實現。這讓我想起有人認為，研究演算法的可以完全不會寫代碼，甚至不瞭解電腦原理，這可能嗎？就像上面這個演算法，理論上有錯嗎？然而實際條件給限制了。不理解資料怎麼溢出，就不能提前預見這種錯誤，那麼費了半天神想出的演算法只能是空談。

        而另一重解決方案是預估計序列的最大長度，再用這個長度作為迴圈結束條件，經分析，最大長度應該為：

                      int maxLength = pow(N* 2.0,0.5) + 1;

從而程式修改如下：

#include <iostream>
#include <cmath>
using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;
int main(void)
...{
    int N = 0;
    cout<<"請輸入N: ";
    while(!(cin>>N))
    ...{    
        cout<<"input fail,please retry!"<<endl;
        cout<<"請輸入N: ";
        cin.clear();
    }
    int k = 0;
    int m = N;
    int i = 0;
    int big,small,pre_m;//這裡的幾個變數不過十位了讓代碼的含義更清晰,其實完全可以省略.
    int j = 0;          //這個主要是為了測試和分析方便,也不是必要的.
    int maxLength = pow(N* 2.0,0.5) + 1;//這是我們估計的最長序列長度。
//  int maxLength = log((double)N);
    cout<<"maxLength = "<<maxLength<<endl;
    do
    ...{
        k = k+i;
//      pre_m =k;
        m = (N-k)/(i+1);
        if(N == m*(i+1)+k)
        ...{
            big = m+i;
            small = m;
            ++j;
            cout<<"circle ["<<i+1<<"];  from  "<<small<<"  to  "<<big<<endl;
        }
        ++i;
//  }while((unsigned)N>(unsigned)pre_m);//如果N<pre_i(前i項和),說明達到最長序列
    }while(i<maxLength);
    cout<<"circles["<<i<<"]  total "<<j<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}