有向非循環圖的應用—AOV網 和 拓撲排序

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有向非循環圖：無環的有向圖，簡稱 DAG (Directed Acycline Graph) 圖。

一個有向圖的產生樹是一個有向樹，一個非連通有向圖的若干強連通分量產生若干有向樹，這些有向數形成產生森林。

在工程計劃和管理方面的應用

除最簡單的情況之外，幾乎所有的工程都可分為若干個稱作“活動”的子工程，並且這些子工程之間通常受著一定條件的約束，例如：其中某些子工程必須在另一些子工

程完成之後才能開始。對整個工程和系統，人們關心的是兩方面的問題：

一是工程能否順利進行，即工程流程是否“合理”；

二是完成整個工程所必須的最短時間。

對應到有向圖即為進行拓撲排序（AOV網）和求關鍵路徑（AOE網）。 

拓撲排序

AOV 網：用一個有向圖表示一個工程的各子工程及其相互制約的關係，其中以頂點表示活動，弧表示活動之間的優先制約關係，稱這種有向圖為頂點表示活動的網，簡稱AOV (Activity On  Vertex network)網。

比如、某工程可分為7個子工程(V0、V1、V2、V3、V4、V5、V6)，若用頂點表示子工程（也稱活動），用弧表示子工程間的循序關聯性，工程流程可用如下的AOV網表示。

比如排課表

AOV 網的特點：若從 i 到 j 有一條有向路徑，則 i是 j 的前驅；j 是 i 的後繼。若 < i , j > 是網中有向邊，則 i 是 j 的直接前驅； j 是 i 的直接後繼。AOV 網中不允許有迴路，因為如果有迴路存在，則表明某項活動以自己為先決條件，顯然這是荒謬的。

問題：如何判別 AOV 網中是否存在迴路？即如何AOV網表示的工程能順利進行？合理？

拓撲排序：

在 AOV 網沒有迴路的前提下，我們將全部活動排列成一個線性序，使得若 AOV 網中有弧 <i,  j> 存在，則在這個序列中， i  一定排在  j的前面，具有這種性質的線性序列稱為拓撲有序序列，相應的拓撲有序排序的演算法稱為拓撲排序。

注意：

1、若將圖中頂點按拓撲次序排成一行，則圖中所有的有向邊均是從左指向右的。2、若圖中存在有向環，則不可能使頂點滿足拓撲次序。3、一個DAG可能存在多個拓撲序列。

檢測 AOV 網中是否存在環方法：

DFS（深度優先搜尋），出現返回邊則有環；拓撲排序，若所有的頂點都出現在拓撲排序中，則不出現環。如果使用 DFS 進行拓撲排序，那麼結果是逆向的拓撲排序有序序列。 拓撲排序方法：1)在有向圖中選一個無前趨的頂點v，輸出之；2)從有向圖中刪除v及以v為尾的弧；

3)重複1)、2)，直接全部輸出全部頂點或有向圖中不存在無前趨的結點時為止。

刪除 v2，v3，v4，v5，v6以及以他們為尾部的弧 

注意：一個AOV網的拓撲序列不是唯一的

 

有向非循環圖的應用—AOV網 和 拓撲排序