卡塔蘭數的應用

卡塔蘭數

卡塔蘭數的一般項公式為 

前幾項為 （OEIS中的數列A000108）:
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, 18367353072152, 69533550916004, 263747951750360,
1002242216651368, 3814986502092304, 14544636039226909, 55534064877048198, 212336130412243110, 812944042149730764, 3116285494907301262, 11959798385860453492, 45950804324621742364, ...

性質

Cn的另一個表達形式為 所以，Cn是一個自然數；這一點在先前的通項公式中並不顯而易見。這個表達形式也是André對前一公式證明的基礎。

遞推關係

它也滿足

這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數。

卡塔蘭數的漸近增長為

它的含義是左式除以右式的商趨向於1當n → ∞。（這可以用n!的斯特靈公式來證明。）

所有的奇卡塔蘭數Cn都滿足。所有其他的卡塔蘭數都是偶數。

應用

• Cn表示長度2n的dyck word的個數。Dyck word是一個有n個X和n個Y組成的字串，且所有的首碼字串皆滿足X的個數大於等於Y的個數。以下為長度為6的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

• 將上例的X換成左括弧，Y換成右括弧，Cn表示所有包含n組括弧的合法運算式的個數:

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

• Cn表示有n個節點群組成不同構二叉樹的方案數。中，n等於3，圓形表示節點，月牙形表示什麼都沒有。

• Cn表示有2n+1個節點群組成不同構滿二叉樹（full binary tree）的方案數。中，n等於3，圓形表示內部節點，月牙形表示外部節點。本質同上。

證明：

令1表示進棧，0表示出棧，則可轉化為求一個2n位、含n個1、n個0的位元，滿足從左往右掃描到任意一位時，經過的0數不多於1數。顯然含n個1、n個0的2n位位元共有個，下面考慮不滿足要求的數目。

考慮一個含n個1、n個0的2n位位元，掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1（容易證明一定存在這樣的情況），則後面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其以後的部分0變成1、1變成0，則對應一個n+1個0和n-1個1的位元。反之亦然（相似的思路證明兩者一一對應）。

從而。證畢。

應用2的C++代碼實現如下

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;/*count[0]存著左括弧數目，count[1]存著右括弧數目。一開始kind中壓入左括弧，因為第一個肯定是左括弧。然後count數組初始化為n-1個左括弧，n個右括弧。然後我們遞迴的處理。如果剩餘左括弧數count[0]大於0，就可以把左括弧壓棧。而對於右括弧，棧中左括弧個數必須多於右括弧個數，也就是剩餘右括弧個數大於左括弧個數，即count[1]>count[0]時，才能將右括弧壓棧。如果棧中元素個數達到2n時，就把棧中元素輸出。*/void func(vector<char>kind,int count[],int n){    static int cnt = 0;    if(count[0]>=1)    {        kind.push_back('(');        count[0]--;        func(kind,count,n);        count[0]++;        kind.pop_back();    }    if((count[1]>=1) && (count[1]>count[0]))    {        kind.push_back(')');        count[1]--;        func(kind,count,n);        count[1]++;        kind.pop_back();    }    if(kind.size()==2*n)    {cnt++;        vector<char>::iterator iter;        for(iter=kind.begin();iter!=kind.end();iter++)        {            cout<<(*iter)<<" ";        }cout << "cnt = " << cnt << endl;        cout<<endl;    }}int main(){    int n;    cout << "please input the number of ():" << endl;    cin>>n;    int count[2]={n-1,n};    vector<char>kind;    kind.push_back('(');    func(kind,count,n);    return 0;}

註：上述部分內容摘抄與維基百科