斐波那契數列時間複雜性的近似證明和精確證明

斐波那契數列可以派生出很多應用，其中，我們知道它的時間複雜性是指數級的，現在就來粗略地證明一下：

斐波那契數列遞推式：

F(n)=F(n-1)+F(n-2)

F(1)=F(2)=1

粗略證明可以利用Decision_Tree,為了更直觀，我引用另一個恒等函數 f(x)=0 ;x=1,2,3,4,5,............

所以斐波那契數列遞推式變形如下：

F(n)=F(n-1)+F(n-2)+f(n)

F(1)=F(2)=1

畫出Decision_Tree

//F(n)=    f(n)//  /  \//f(n-1)   f(n-2)//   /       \/\//  f(n-2) f(n-3)f(n-3f(n-4)//..  .  . //   . . .   f(2)//  /   \\//f(1)  f(2) 1/// \/\// 1   1   1  1

因為f(n)恒等於0，所以F(n)等於葉子結點的總和乘以Theta(1).最長鏈路是最左子樹，最短鏈路是最右子樹。

所以有：2^(n/2)<F(n)<2^n，即F(n)=theta(2^n).

精確證明：