數組的RandomShuffle演算法

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試題：

random(a,b)是可以產生[a,b]之間一個隨機整數的函數。請使用random(a,b)寫一個演算法將長度為n的整型數組隨機打亂。

void random_shuffle(int a[], int n);

 

分析：

不考慮數組中元素是否重複，長度為n的數組，其全排列共有n!種。要做到機率上的隨機打亂，打亂後的排列的機率需要是1/n!。

 

答案一、《演算法導論》中的做法：

void random_shuffle(int a[], int n){    int temp_index, temp_val;    for (int i = 0; i < n; i++)    {        temp_index = random(i, n-1);        temp_val = a[temp_index];        a[temp_index] = a[i];        a[i] = temp_val;    }} 

 

證明：

（證明時，使用1-n的下標,注意與實現區分）。

使用如下的迴圈不等式：在for迴圈的第k次迭代之後，對每個可能的k排列，子數組a[1,k]包含這個k排列的機率是(n-k)!/n!

 初始：當k=1時，第一個元素的機率是1/n，而迴圈不等式(n-1)!/n!=1/n。迴圈不等式成立。

 保持：假設當k=i時，迴圈不等式也成立。則當k=i+1時，k排列的機率=(k-1)排列的機率 * 第k個元素的機率。

((n-i)!/n!) * (1/(n-i)) = (n-i-1)!/n! = (n-(i+1))!/n!

迴圈不等式成立。 

 終止：當k=n時，((n-(n-1))!/n!) * 1 = 1/n!

 由此證明演算法random_shuffle產生的數組排列是均勻隨機的。

更多內容可參考《演算法導論》引理5.5

 

答案二： VC STL中algorithm的做法：

void random_shuffle(int a[], int n){    int temp_index, temp_val;    // 注意這裡i是從1開始，i=0時不需要交換    for (int i = 1; i < n; i++)    {        temp_index = random(0, i);        temp_val = a[temp_index];        a[temp_index] = a[i];        a[i] = temp_val;    }}

 

證明：

（證明時，使用1-n的下標,注意與實現區分）。

使用如下的迴圈不等式：在for迴圈的第k次迭代之後，對每個可能的k排列，子數組a[1,k]包含這個k排列的機率是1/k!

 初始：當k=2時，第一個元素的機率是1/2，而迴圈不等式1/k!=1/2。迴圈不等式成立。

 保持：假設當k=i時，迴圈不等式也成立。則當k=i+1時，k排列的機率=(k-1)排列的機率 * 第k個元素的機率。

(1/i!) * (1/(i+1)) = 1/(i+1)!

迴圈不等式成立。

 終止：當k=n時，(1/(n-1)!) * (1/n) = 1/n!

 由此證明演算法random_shuffle產生的數組排列是均勻隨機的。

 

小結：

《演算法導論》是本很經典的書，給出了均勻排列的證明。而vc的stl演算法給出了另外一種實現。對比之下，stl的演算法更工程一些，因為i是1開始，而不是從0開始，當i=0時，random(0,0)還是自己，不需要交換，stl直接省卻了這一步。同樣《演算法導論》的實現，for迴圈中的i<n，也可以改為i<n-1。