待字閨中之數組統計分析

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給定數組A，大小為n，數組元素為1到n的數字，不過有的數字出現了多次，有的數字沒有出現。請給出演算法和程式，統計哪些數字沒有出現，哪些數字出現了多少次。能夠在O(n)的時間複雜度，O(1)的空間複雜度要求下完成嗎？

這個題目，是有一定技巧的。技巧是需要慢慢積累，待經驗多了之後，可以靈感或者直覺，就產生了技巧。如果不知道技巧，那該怎麼辦呢？ 在開始分析之前，說明兩個問題：

• 原數組是沒有排序的。如果排序了，很簡單的。

• O(1)的空間含義，可以使用變數，但不能開闢數組或者map等來計數。

這個題目，很直接的解法就是兩層遍曆，O(n^2)的複雜度，O(1)的空間。空間滿足了，但是時間沒有。 很多類似的題目，都會用XOR的方法，大家仔細想一下，這個題目，可以嗎？或者這個題目和可以用XOR的題目的差異在哪兒？最直接的就是，每一個數位重複的次數是不同的。

還有就是以空間換時間的方法，例如用hash map或者數組來計數。時間滿足了，但是空間沒有滿足。 那怎樣才能有時間複雜度O(n)，空間複雜度O(1)的演算法呢？不能開闢新的空間，那麼只剩下，重複利用數組A。那麼該如何利用數組A呢？

首先，我們介紹一種三次遍曆數組的方法,我們都考慮數組從1開始：

• 第一次遍曆：對於每一個A[i] = A[i] * (n+1)

• 第二次遍曆：對於每一個i，A[A[i]/(n+1)]++

• 第三次遍曆：對於每一個i，A[i] % (n+1)就是出現次數

A[i]應該出現在A中的A[i]位置，乘以(n+1)、再除以(n+1)，很容易的來回變換；第二次遍曆，對於A[i]本來所在的位置不斷增1，但絕對不對超出(n+1)的，那每一個i出現的次數，就是A[i]對(n+1)取餘。

還有一種兩次遍曆的方法，也是上面的思路:考慮A[i]，現在位置是i，如果採用A來計數，它的位置應該是A[i] % (n+1)，找到計數位置，該如何處理這個位置呢？加1嗎？顯然不可以，這裡有一個技巧，就是加(n+1)，有兩個原因

• 加n可以保證A[i] % (n+1)是不變的

• A數組，最後每一個元素表示為A[i] = x + k*(n+1)，其中x

具體代碼如下

void statistics1(int* data,int n)//方法一：三次遍曆{if(data == NULL || n <= 1)return;int i;for(i = 1;i <= n;i++){data[i] *= (n+1);}for(i = 1;i <= n;i++){data[data[i] / (n+1)]++;}for(i = 1;i <= n;i++){cout << i << " 出現了 " << data[i] % (n+1) <<" 次"<< endl;}}void statistics2(int* data,int n)//方法二：兩次遍曆{if(data == NULL || n <= 1)return;int i;for(i = 1;i <= n;i++){data[data[i]%(n+1)] += (n+1);}for(i = 1;i <= n;i++){cout << i << " 出現了 " << data[i]/(n+1) << " 次" << endl;}}

如有問題，請指正

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