螞蟻從一個角爬到對角的平均時間

題目：

一個unit cubic,一隻螞蟻在一個角，準備在這個cubic的edge上開始爬動。螞蟻爬過一條邊的時間為1，它在任意一個角的時候，往其他三個方向去的機率都是1/3.問螞蟻從一個角爬到對角的平均時間是多少？

分析：

直接轉載的：

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一個unit cubic,一隻螞蟻在一個角，準備在這個cubic的edge上開始爬動。螞蟻爬過一條邊的時間為1，它在任意一個角的時候，往其他三個方向去的機率都是1/3.問螞蟻從一個角爬到對角的平均時間是多少？

題目意思很簡單，把螞蟻放在A處，問爬到C所需的平均時間。

假設從A->C 所需的平均時間為E(x), (因為是對稱的，則E->F所需時間也為E(x),即所有到對角所需平均時間均為E(x));

從A->D所需平均時間為E(y),則所有到相鄰頂點的所需的平均時間均為E(y), A->D, A->B, B->F, D->F 等為E(y);

從D->C所需平均時間為E(z), 則所有到同一平面對角線頂點平均時間均為E(z)。

則：

E(x) = 1 + E(z)              (螞蟻走了第一步後，到目標同一平面對角線位置)

E(y) =  1/3 + 2/3 *(1+ E(z))                                (假設求A->D, 有1/3的機率直接到， 有2/3的機率到B或者E，從B或者E到D的平均時間為E(z))

E(z) = 2/3 * (1 +  E(y) )+ 1/3* (1+E(x))   （假設求D->C， 2/3的機率先到F或者G,從F或者G到C平均時間為E(y); 1/3的機率到A, 從A到C的平均時間為E(x)

 

解得： E(x) = 10, E(y) = 7, E(z) = 9  (囧：差點小學數學不會算了）

出處：http://wansishuang.appspot.com/?p=61001

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總結：

剛剛碰到這個問題，看著非常繁瑣，學會將一個問題分解為幾個子問題，然後對這幾個子問題分別建模，這樣直觀而且高效。