回溯法及N皇后問題_回溯法

reference:

http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741376.html

http://www.cnblogs.com/Creator/archive/2011/05/20/2052341.html 1、什麼是回溯法

 回溯法是一種系統地搜尋問題解答的方法。在搜尋的過程中嘗試找到問題的解，如果發現找不到了，就退一步，往上回溯（剪枝過程）。對於許多複雜問題和大規模問題都可以使用回溯法。
 回溯法的基本思想是按照深度優先搜尋的策略，從根節點開始搜尋，當到某個節點時要判斷是否是包含問題的解，如果包含就從該節點繼續搜尋下去，如果不包含，就向父節點回溯。若用回溯法求問題的所有解時，要回溯到根，且根結點的所有可行的子樹都要已被搜尋遍才結束。而若使用回溯法求任一個解時，只要搜尋到問題的一個解就可以結束。
  回溯法常用的剪枝函數：(1)約束函數：在節點處減去不滿足約束的子樹。(2)界限函數：減去得不到最優解的子樹 2、回溯法解題的一般步驟 針對所給問題，確定問題的解空間 利用適於搜尋的方法組織解空間 利用深度優先搜尋解空間 在搜尋過程中用剪枝函數避免無效搜尋。 3、演算法架構 設問題的解是一個n維向量(a1,a2,………,an),約束條件是ai(i=1,2,3,…..,n)之間滿足某種條件，記為f(ai)。 非遞迴回溯架構

int a[n], i;初始化a[n];i = 1;while (i > 0(有路可走) and (未達到目標))//還沒有回溯到頭{    if (i > n)    {        搜尋到一個解，輸出；    }    else    {        a[i]第一個可能的值；        while (a[i]在不滿足約束條件且在搜尋空間內)        {            a[i]下一個可能的值；        }        if (a[i]在搜尋空間內)        {            標識佔用的資源；            i = i + 1;  //擴充下一個節點        }        else        {            清理所佔的空間狀態；  //回溯            i = i - 1;        }    }}

遞迴回溯架構

int a[n];try(int i){    if(i>n)        輸出結果;    else   {    for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚舉i所有可能的路徑       {            if(fun(j))                 // 滿足限界函數和約束條件              {                 a[i] = j;               ...                         // 其他動作                 try(i+1);              回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）;              }              }          } }

4舉例：N皇后問題

在一個N*N的棋盤上放置N個皇后，每行一個並使其不能互相攻擊（同一行、同一列、同一斜線上的皇后都會自動攻擊）。

/*用n元組x[1:n]表示n後問題的解。x[i]表示皇后i放置在棋盤的第i行的第x[i]列*/#include <stdio.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>static int n, x[1000];static long sum;/*判斷第k個後能不能放在x[k]處兩個皇后不能放在統一斜線上：若2個皇后放置的位置分別是（i,j）和（k,l）,且 i-j = k -l 或 i+j = k+l，則說明這2個皇后處於同一斜線上。*/void OutPut(){    for (int i = 1; i <= n; ++i)        printf("(%d, %d) ", i, x[i]);    printf("\n");}int Place(int k){    for (int j = 1; j < k; ++j)        if (abs(k - j) == abs(x[k] - x[j]) || x[j] == x[k])            return 0;    return 1;}void BackTrack1(int t){    //如果t>n說明已經完成一次放置    if (t > n)    {        sum++;        OutPut();    }    else    {        for (int i = 1; i <= n; ++i)        {            x[t] = i;            if (Place(t))                   //可以放在i位置處，則繼續搜尋                BackTrack1(t + 1);        }    }}void BackTrack(){    int k;    x[1] = 0;       //初始化為0    k = 1;    while (k >= 1)  //迴圈    {        x[k] += 1;  //先放在第一個位置        while ((x[k] <= n) && !(Place(k)))  //如果不能放            x[k] += 1;                      //放在下一個位置        if (x[k] <= n)                      //放置完成        {            if (k == n)                     //如果已經放完了n個皇后            {                sum++;                      //處理次數，輸出                OutPut();            }            else                            //沒有處理完，讓k自加，處理下一個皇后            {                k++;                x[k] = 0;            }        }                                   //x[k] > n，說明沒有合適的位置了        else            k--;                            //回溯回去，回到第k-1步    }}int main(){    clock_t start, finish;    double duration;    int nn;    while (scanf_s("%d", &nn) != EOF)    {        n = nn;        sum = 0;        for (int i = 0; i <= n; ++i)            x[i] = 0;        BackTrack();        //BackTrack1(1);        printf("%d\n", sum);    }    return 0;}