二叉搜尋樹的平衡--AVL樹和樹的旋轉（圖解）

二叉搜尋樹的平衡--AVL樹和樹的旋轉（圖解）

二叉搜尋樹只有保持平衡時其尋找效率才會高。

要保持二叉搜尋樹的平衡不是一件易事。不過還是有一些非常經典的辦法可以做到，其中最好的方法就是將二叉搜尋樹實現為AVL樹。

AVL樹得名於它的發明者 G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis，他們在 1962 年的論文 "An algorithm for the organization of information" 中發表了它。AVL樹是一種特殊類型的二叉樹，它的每個結點都儲存一份額外的資訊：結點的平衡因子。

結點的平衡因子 = 左子樹的高度 - 右子樹的高度

插入和刪除操作都會導致AVL樹的自我調整（自我平衡），使得所有結點的平衡因子保持為+1、-1或0。

當子樹的根結點的平衡因子為+1時，它是左傾斜的（left-heavy)。

當子樹的根結點的平衡因子為 -1時，它是右傾斜的(right-heavy)。

一顆子樹的根結點的平衡因子就代表該子樹的平衡性。

保持所有子樹幾乎都處於平衡狀態，AVL樹在總體上就能夠基本保持平衡。

 

AVL樹的基本尋找、插入結點的操作和二叉樹的操作一樣。但是，當向AVL樹中插入一個結點後，還有一些額外的工作要做。首先，必須計算因插入操作對平衡因子帶來的改變。其次，如果任何平衡因子變成了+/-2，就必須從這個結點開始往下重新平衡這顆樹，這個重新平衡的過程就稱為旋轉。

AVL樹的旋轉

旋轉操作用來重新平衡樹的某個部分。通過重新安排結點 ，使結點之間的關係始終保持左子結點小於父結點，父結點小於右子結點。使得該樹仍然是一顆二叉搜尋樹。旋轉過後，旋轉子樹中的所有結點的平衡因子都為+1、-1或0。

AVL樹的旋轉類型有4種， 分別是LL(left-left)旋轉、LR(left-right)旋轉、RR(right-right)旋轉和RL(right-left)旋轉。

為方便理解在何時執行哪一種旋轉，設x代表剛插入AVL樹中的結點，設A為離x最近且平衡因子更改為2的絕對值的祖先。可以歸納為下面4種處理情況：

LL旋轉

如所示，當x位於A的左子樹的左子樹上時，執行LL旋轉。

設left為A的左子樹，要執行LL旋轉，將A的左指標指向left的右子結點，left的右指標指向A，將原來指向A的指標指向left。

旋轉過後，將A和left的平衡因子都改為0。所有其他結點的平衡因子沒有發生變化。

 LR旋轉

當x位於A的左子樹的右子樹上時，執行LR旋轉。

設left是A的左子結點，並設A的子孫結點grandchild為left的右子結點。

要執行LR旋轉，將left的右子結點指向grandchild的左子結點，grandchild的左子結點指向left，A的左子結點指向grandchild的右子結點，再將grandchild的右子結點指向A，最後將原來指向A的指標指向grandchild。

執行LR旋轉之後，調整結點的平衡因子取決於旋轉前grandchild結點的原平衡因子值。

如果grandchild結點的原始平衡因子為+1，就將A的平衡因子設為-1，將left的平衡因子設為0。

如果grandchild結點的原始平衡因子為0，就將A和left的平衡因子都設定為0。

如果grandchild結點的原始平衡因子為-1，就將A的平衡因子設定為0，將left的平衡因子設定為+1。

在所有的情況下，grandchild的新平衡因子都是0。所有其他結點的平衡因子都沒有改變。

 

RR旋轉

當x位於A的左子樹的右子樹上時，執行RR旋轉。

RR旋轉與LL旋轉是對稱的關係。

設A的右子結點為Right。要執行RR旋轉，將A的右指標指向right的左子結點，right的左指標指向A，原來指向A的指標修改為指向right。

完成旋轉以後，將A和left的平衡因子都修改為0。所有其他結點的平衡因子都沒有改變。

RL旋轉

當x位於A的右子樹的左子樹上時，執行RL旋轉。

 RL旋轉與LR旋轉是對稱的關係。

設A的右子結點為right，right的左子結點為grandchild。要執行RL旋轉，將right結點的左子結點指向grandchild的右子結點，將grandchild的右子結點指向right，將A的右子結點指向grandchild的左子結點，將grandchild的左子結點指向A，最後將原來指向A的指標指向grandchild。

執行RL旋轉以後，調整結點的平衡因子取決於旋轉前grandchild結點的原平衡因子。這裡也有三種情況需要考慮：

如果grandchild的原始平衡因子值為+1，將A的平衡因子更新為0，right的更新為-1；

如果grandchild的原始平衡因子值為  0，將A和right的平衡因子都更新為0；

如果grandchild的原始平衡因子值為-1，將A的平衡因子更新為+1，right的更新為0；

在所有情況中，都將grandchild的新平衡因子設定為0。所有其他結點的平衡因子不發生改變。

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