平衡二叉樹 構造方法

平衡二叉樹

對於二叉尋找樹，儘管尋找、插入及刪除操作的平均已耗用時間為O(logn)，但是它們的最差已耗用時間都是O(n),原因在於對樹的形狀沒有限制。

平
衡二叉樹又稱為AVL樹，它或者是一棵空樹，或者是有下列性質的二叉樹：它的左子樹和右子樹都是平衡二叉樹，且左右子樹的深度之差的絕對值不超過1。二叉
樹的的平衡因子BF為：該結點的左子樹的深度減去它的右子樹的深度，則平衡二叉樹的所有結點的平衡因子為只可能是：-1、0和1

一棵好的平衡二叉樹的特徵：

（1）保證有n個結點的樹的高度為O(logn)

（2）容易維護，也就是說，在做資料項目的插入或刪除操作時，為平衡樹所做的一些輔助操作時間開銷為O(1)

一、平衡二叉樹的構造

在
一棵二叉尋找樹中插入結點後，調整其為平衡二叉樹。若向平衡二叉樹中插入一個新結點後破壞了平衡二叉樹的平衡性。首先要找出插入新結點後失去平衡的最小子
樹根結點的指標。然後再調整這個子樹中有關結點之間的連結關係，使之成為新的平衡子樹。當失去平衡的最小子樹被調整為平衡子樹後，原有其他所有不平衡子樹
無需調整，整個二叉排序樹就又成為一棵平衡二叉樹

1.調整方法

（1）插入點位置必須滿足二叉尋找樹的性質
，即任意一棵子樹的左結點都小於根結點，右結點大於根結點

（2）找出插入結點後不平衡的最小二叉樹

進行調整，如果是整個樹不平衡，才進行整個樹的調整。

2.調整方式

（1）LL型

LL型：插入位置為左子樹的左結點，進行向右旋轉

由於在A的左孩子B的左子樹上插入結點F，使A的平衡因子由1變為2，成為不平衡的最小二叉樹根結點。此時A結點順時針右旋轉，旋轉過程中遵循“旋轉優先”的規則，A結點替換D結點成為B結點的右子樹，D結點成為A結點的左孩子。（2）RR型RR型：插入位置 為右子樹的右孩子，進行向左旋轉
由於在A的右子樹C的右子樹插入了結點F，A的平衡因子由-1變為-2，成為不平衡的最小二叉樹根結點。此時，A結點逆時針左旋轉，遵循“旋轉優先”的規則，A結點替換D結點成為C的左子樹，D結點成為A的右子樹。（3）LR型LR型：插入位置為 左子樹的右孩子，要進行兩次旋轉，先左旋轉，再右旋轉；第一次最小不平衡子樹的根結點先不動，調整插入結點所在的子樹，第二次再調整最小不平衡子樹。

 

 由於在A的左子樹B的右子樹上插入了結點F，A的平衡因子由1變為了2，成為不平衡的最小二叉樹根結點。第一次旋轉A結點不動，先將B的右子樹的根結點D向左上旋轉提升到B結點的位置，然後再把該D結點向右上旋轉提升到A結點的位置。

（4）RL型RL型：插入位置為右子樹的左孩子，進行兩次調整，先右旋轉再左旋轉；處理情況與LR類似。