平衡二叉樹（Balance Binary Tree） --AVL樹

上一節介紹的二叉尋找樹的尋找效率取決於二叉排序樹的形態，而構造一棵形態均勻的二叉尋找樹與節點插入的次序有關，而插入的順序往往是不可預測的。

（1）若將最大值或最小值首先插入，整個二叉尋找樹將沒有左子樹或右子樹。

（2）在最壞情況下，插入的次序已經是有序的，此時二叉尋找樹將成為一棵斜樹，此時就成了一個線性邊，尋找的效率驟然下降，時間複雜度邊為O（n）

（3）所以二叉尋找樹的效率介於 O（logN）和O（n）之間。

基於上面的情況，這就需要我們找到一種動態平衡的方法，對於任意的插入序列都能構造一棵形態均勻、平衡的二叉尋找樹，這就是我們下面介紹的平衡二叉樹。

平衡二叉樹性質： 

（1）根節點的左子樹和右子樹的深度最多相差1。   （2）根節點的左子樹和右子樹葉都是一棵平衡二叉樹。

平衡因子： 每個結點的平衡因子是該結點的左子樹與右子樹的深度之差。

構造平衡二叉樹的思想： 在構造二叉尋找樹的過程中，每當插入一個結點，首先檢查插入後是否破壞了樹的平衡性，若破壞對樹進行調整，使插入後成為平衡二叉樹。                                             

下面，介紹一下平衡二叉樹插入時就對樹進行調整的4種情況：

（1）LL型

BL  、 BR  分別表示結點B 的左右子樹，  AR  為結點A的右子樹，且深度都是h。 將節點X 插到B 的左子樹上，導致節點A 的平衡因子有1變為了2，A失去平衡。                                                    

新插入的節點是插在結點A的左孩子的左子樹上，屬於LL型。根據扁擔原理，將支撐結點由A 改為B，並進行順時針旋轉，旋轉後，A和BR 發生衝突，採用旋轉優先原則，將A結點作為B結點的右孩子，B結點的右孩子脫落下來成為A結點的左孩子。

（2）RR型

BL  、 BR  分別表示結點B 的左右子樹， AR  為結點A的右子樹，且深度都是h。 將節點X 插到B 的右子樹上，導致節點A 的平衡因子有-1變為了-2，A失去平衡。                                           

新插入的節點是插在結點A的右孩子的右子樹上，屬於LL型。根據扁擔原理，將支援節點右A 改為B，並進行逆時針旋轉，旋轉後，A和BL 發生衝突，採用旋轉優先原則，將A結點作為B結點的左孩子，B結點的左孩子脫落下來成為A結點的右孩子。

（3）LR型

節點X插在根結點的左孩子的右子樹上，使結點A的平衡因子有1變為了2，A結點失去平衡，這裡屬於LR型，需要旋轉2次。

第一次旋轉： 根結點不動，先調整結點A的左子樹。將支撐節點由B調整為C，進行逆時針，此時B和C的左子樹發生衝突，旋轉優先，將B作為C的左孩子，C的左孩子脫落下來成為B的右孩子，此時C成為了A的左孩子。

                               

第二次旋轉： 調整不平衡因子。將支撐結點由A調整為C，相應的進行順時針旋轉。此時，A和C的右孩子衝突，將A作為C的右孩子，C的右孩子脫落下來成為A的左孩子。

（4）RL型

和LR型類似，也需要兩次調整。節點X插在根結點的右孩子的左子樹上，使結點A的平衡因子有-1變為了-2，A結點失去平衡，這裡屬於RL型，需要旋轉2次。

第一次旋轉： 根結點不動，先調整結點A的右子樹。將支撐節點由B調整為C，進行順時針，

此時B和C的右子樹發生衝突，旋轉優先，將B作為C的右孩子，C的右孩子。

第二次旋轉： 調整不平衡因子。將支撐結點由A調整為C，相應的進行逆時針旋轉。

此時，A和C的左孩子衝突，將A作為C的左孩子，C的左孩子脫落下來成為A的右孩子。

通過上面的分析，我們已經明白了構建平衡二叉樹的及基本過程及思路，這也是平衡二叉樹的精華所在，無論插入的序列是怎麼樣，我們都能通過調整構建一棵平衡二叉樹，保證二叉樹中的每個節點的平衡因子都不會大於1，保證了樹的深度達到最淺，從而比較的次數就會更少，時間複雜度就會降低，在平衡二叉樹中尋找的時間複雜度為O（logN）。比二叉尋找樹效能更加好。

                                  

一個平衡二叉樹的簡單實現：

package org.TT.BalanceTree;/** *  平衡二叉樹簡單實現   */public class AvlTree<T extends Comparable<? super T>> {private AvlNode<T> root;// AVL樹根/** * 初始化為空白樹 */public AvlTree() {root = null;}/** * 在AVL樹中插入資料 */public void insert(T x) {root = insert(x, root);}/** * 在AVL樹中找最小的資料 */public T findMin() {if (isEmpty())System.out.println("樹空");return findMin(root).element;}/** * 在AVL樹中找最大的資料 */public T findMax() {if (isEmpty())System.out.println("樹空");return findMax(root).element;}/** * 搜尋，尋找記錄，找到返回 true 否則返回false */public boolean find(T x) {return find(x, root);}/** * 清空AVL 樹 */public void clear() {root = null;}/** * 判斷是否為空白 */public boolean isEmpty() {return root == null;}/** * 排序輸出AVL樹, 採用中序輸出 */public void printTree() {if (isEmpty())System.out.println("Empty tree");elseprintTree(root);}/** * 以根節點開始，將新節點插入到合適的位置 */private AvlNode<T> insert(T x, AvlNode<T> root) {if (root == null)return new AvlNode<T>(x, null, null);int compareResult = x.compareTo(root.element);if (compareResult < 0) {root.left = insert(x, root.left);// 將x插入左子樹中if (height(root.left) - height(root.right) == 2)// 打破平衡if (x.compareTo(root.left.element) < 0)// LL型（左左型）root = rotateWithLeftChild(root);elseroot = doubleWithLeftChild(root);// LR型（左右型）} else if (compareResult > 0) {root.right = insert(x, root.right);// 將x插入右子樹中if (height(root.right) - height(root.left) == 2)// 打破平衡if (x.compareTo(root.right.element) > 0)// RR型（右右型）root = rotateWithRightChild(root);else// RL型root = doubleWithRightChild(root);} else; // 重複資料，什麼也不做root.height = Math.max(height(root.left), height(root.right)) + 1;// 更新高度return root;}/** * 找最小值 */private AvlNode<T> findMin(AvlNode<T> n) {if (n == null)return n;while (n.left != null)n = n.left;return n;}/** * 找最大值 */private AvlNode<T> findMax(AvlNode<T> n) {if (n == null)return n;while (n.right != null)n = n.right;return n;}/** * 搜尋（尋找）,以某個節點作為根開始尋找 */@SuppressWarnings("unchecked")private boolean find(T x, AvlNode<?> root) {while (root != null) {int compareResult = x.compareTo((T) root.element);if (compareResult < 0)root = root.left;else if (compareResult > 0)root = root.right;elsereturn true; //找到}return false; //未找到}/** * 中序遍曆AVL樹 */private void printTree(AvlNode<T> n) {if (n != null) {printTree(n.left);System.out.print(n.element + "  ");printTree(n.right);}}/** * 求AVL樹的高度 */private int height(AvlNode<T> n) {return n == null ? -1 : n.height;}/** * 帶左子樹旋轉,適用於LL型 */private AvlNode<T> rotateWithLeftChild(AvlNode<T> n) {AvlNode<T> k = n.left;n.left = k.right;k.right = n;n.height = Math.max(height(n.left), height(n.right)) + 1;k.height = Math.max(height(k.left), n.height) + 1;return k;}/** * 帶右子樹旋轉，適用於RR型 */private AvlNode<T> rotateWithRightChild(AvlNode<T> n) {AvlNode<T> k = n.right;n.right = k.left;k.left = n;n.height = Math.max(height(n.left), height(n.right)) + 1;k.height = Math.max(height(k.right), n.height) + 1;return k;}/** * 雙旋轉，適用於LR型 */private AvlNode<T> doubleWithLeftChild(AvlNode<T> n) {n.left = rotateWithRightChild(n.left);return rotateWithLeftChild(n);}/** * 雙旋轉,適用於RL型 */private AvlNode<T> doubleWithRightChild(AvlNode<T> n) {n.right = rotateWithLeftChild(n.right);return rotateWithRightChild(n);}public static void main(String[] args) {AvlTree<Integer> t = new AvlTree<Integer>();int[] value = { 6, 1, 20, 7, 10, 8, 9, 3, 14, 5, 18};for (int v : value) {t.insert(v);}System.out.println("中序遍曆： ");t.printTree();System.out.println();System.out.println("樹的高度： " + t.height(t.root));System.out.println("最小值： " + t.findMin());System.out.println("最大值： " + t.findMax());System.out.println("尋找“10”： " + t.find(10));}}

結果：

AVL節點類： 

package org.TT.BalanceTree;public class AvlNode<T> {T element; // 節點中的資料AvlNode<T> left; // 左孩子AvlNode<T> right; // 右孩子int height; // 節點的高度AvlNode(T theElement) {this(theElement, null, null);}AvlNode(T theElement, AvlNode<T> lt, AvlNode<T> rt) {element = theElement;left = lt;right = rt;height = 0;}}