基礎演算法1——約瑟夫問題

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問題來曆
據說著名猶太曆史學家 Josephus有過以下的故事：在羅馬人佔領喬塔帕特後，39 個猶太人與Josephus及他的朋友躲到一個洞中，39個猶太人決定寧願死也不要被敵人抓到，於是決定了一個自殺方式，41個人排成一個圓圈，由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺，然後再由下一個重新報數，直到所有人都自殺身亡為止。然而Josephus 和他的朋友並不想遵從。首先從一個人開始，越過k-2個人（因為第一個人已經被越過），並殺掉第k個人。接著，再越過k-1個人，並殺掉第k個人。這個過程沿著圓圈一直進行，直到最終只剩下一個人留下，這個人就可以繼續活著。問題是，給定了和，一開始要站在什麼地方才能避免被處決？Josephus要他的朋友先假裝遵從，他將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，於是逃過了這場死亡遊戲。17世紀的法國數學家加斯帕在《數目的遊戲問題》中講了這樣一個故事：15個教徒和15 個非教徒在深海上遇險，必須將一半的人投入海中，其餘的人才能倖免於難，於是想了一個辦法：30個人圍成一圓圈，從第一個人開始依次報數，每數到第九個人就將他扔入大海，如此迴圈進行直到僅餘15個人為止。問怎樣排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。分析1：（1）由於對於每個人只有死和活兩種狀態，因此可以用布朗型數組標記每個人的狀態，可用true表示死，false表示活。（2）開始時每個人都是活的，所以數組初值全部賦為false。（3）類比殺人過程，直到所有人都被殺死為止。C++代碼：

 1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 int main() 4 { 5     bool a[101]={0}; 6     intn,m,i,f=0,t=0,s=0; 7     cin>>n>>m; 8     do 9     {10         ++t;//逐個枚舉圈中的所有位置11         if(t>n)12         t=1;//數組類比環狀，最後一個與第一個相連13         if(!a[t])14         s++;//第t個位置上有人則報數15         if(s==m)//當前報的數是m16         {17             s=0;//計數器清零18             cout<<t<<‘‘;//輸出被殺人編號19             a[t]=1;//此處人已死，設定為空白20             f++;//死亡人數+121         }22     }while(f!=n);//直到所有人都被殺死為止23     return 0;24 }

 C代碼：

 1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3  4 typedef struct node 5 { 6     int data; 7     struct node *next; 8 }Node; 9 10 Node *creat(int n)11 {12     Node *p, *head;13     head = (Node *)malloc(sizeof(Node));14     p = head;15     Node *s;16     int i = 0;17 18     if(0 != n)19     {20     while(i <= n)21     {22         s = (Node *)malloc(sizeof(Node));23         s->data = i++;24             p->next = s;25         p = s; 26     }27     s->next = head->next; 28     }29     free(head);30     return s->next;31 }32 33 int main()34 {35     int n = 41, m = 3;36     int i;37     Node *p = creat(n);38     Node *temp;39 40     m %= n;41 42     while(p != p->next)43     {44         for(i = 1; i < m-1; i++)45     {46         p = p->next;47     }48     printf("%d ", p->next->data);49     temp = p->next;50     p->next = temp->next;51 52     free(temp);53     p = p->next;54     }55     printf("%d\n", p->data);56 57     return 0;58 }

 

 

基礎演算法1——約瑟夫問題