【基礎練習】【背包DP】codevs1068 烏龜棋題解

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題目來自2010NOIP提高組

題目描述 Description

小明過生日的時候，爸爸送給他一副烏龜棋當作礼物。 烏龜棋的棋盤是一行N個格子，每個格子上一個分數（非負整數）。棋盤第1格是唯一 的起點，第N格是終點，遊戲要求玩家控制一個烏龜棋子從起點出發走到終點。

…… 1 2 3 4 5 ……N 烏龜棋中M張爬行卡片，分成4種不同的類型（M張卡片中不一定包含所有4種類型 的卡片，見範例），每種類型的卡片上分別標有1、2、3、4四個數字之一，表示使用這種卡 片後，烏龜棋子將向前爬行相應的格子數。遊戲中，玩家每次需要從所有的爬行卡片中選擇 一張之前沒有使用過的爬行卡片，控制烏龜棋子前進相應的格子數，每張卡片只能使用一次。 遊戲中，烏龜棋子自動獲得起點格子的分數，並且在後續的爬行中每到達一個格子，就得到 該格子相應的分數。玩家最終遊戲得分就是烏龜棋子從起點到終點過程中到過的所有格子的 分數總和。 很明顯，用不同的爬行卡片使用順序會使得最終遊戲的得分不同，小明想要找到一種卡 片使用順序使得最終遊戲得分最多。 現在，告訴你棋盤上每個格子的分數和所有的爬行卡片，你能告訴小明，他最多能得到 多少分嗎？

輸入描述 Input Description

輸入的每行中兩個數之間用一個空格隔開。 第1行2個正整數N和M，分別表示棋盤格子數和爬行卡片數。 第2行N個非負整數，a1a2……aN

，其中ai表示棋盤第i個格子上的分數。 第3行M個整數，b1b2……bM

，表示M張爬行卡片上的數字。 輸入資料保證到達終點時剛好用光M張爬行卡片，即N - 1=∑(1->M) b_i

輸出描述 Output Description

輸出一行一個整數

範例輸入 Sample Input

13 8

4 96 10 64 55 13 94 53 5 24 89 8 30

1 1 1 1 1 2 4 1

範例輸出 Sample Output

455

資料範圍及提示 Data Size & Hint

【資料範圍】

對於30%的資料有1 ≤ N≤ 30，1 ≤M≤ 12。

對於50%的資料有1 ≤ N≤ 120，1 ≤M≤ 50，且4 種爬行卡片，每種卡片的張數不會超

過20。

對於100%的資料有1 ≤ N≤ 350，1 ≤M≤ 120，且4 種爬行卡片，每種卡片的張數不會

超過40；0 ≤ ai ≤ 100，1 ≤ i ≤ N；1 ≤ bi ≤ 4，1 ≤ i ≤M。輸入資料保證N?1=ΣM

i b

1

直接四維DP即可，狀態轉移方程為

f[i,j,k,l]=max(f[i-1,j,k,l],f[i,j-1,k,l],f[i,j,k-1,l],f[i,j,k,l-1])+a[i+j*2+k*3+l*4+1]

應注意，此處a的下表應該+1，因為出發點為第一個格子

先上代碼

一開始我寫的時候，迴圈是這樣的：

f[0][0][0][0]=a[1];    for (int i=0;i<=b[1];i++)    {        for (int j=0;j<=b[2];j++)        {            for (int k=0;k<=b[3];k++)            {                for (int l=0;l<=b[4];l++)                {                    f[i][j][k][l]=max(max(max(f[i-1][j][k][l],f[i][j-1][k][l]),f[i][j][k-1][l]),f[i][j][k][l-1])+a[i+j*2+k*3+l*4+1];                }            }        }    }

然而總是RE= =看到題解裡有人說，數組開大會爆掉，仔細一看記憶體128M 但是這可是四維數組啊，多一點就可能釀成大錯，於是抓緊把數組改小然而還是RE= =後來一看，為什麼Pas代碼都把數組開到-1？原來迴圈時每個變數從0開始，會出現數組下表為-1的情況！

LINUX情況下不允許下表為﹣申請記憶體，那可怎麼辦？

某位神仙啟發了我，因為下表為-1的狀態並不影響結果，所以直接忽略就好了，改成這樣：

int d=i+j*2+k*3+l*4+1;                     if(i)f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i-1][j][k][l]+a[d]);                    if(j)f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j-1][k][l]+a[d]);                    if(k)f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j][k-1][l]+a[d]);                    if(l)f[i][j][k][l]=max(f[i][j][k][l],f[i][j][k][l-1]+a[d]);

這裡還要說一句，楊志燦學長的課件裡說，可以用三維數組，因為最後一種卡片數可以由前三種推出來。但我並不知道如何?，至少遞推很難實現，因為我們只考慮最優結果不考慮決策過程，你並不知道現在還剩多少卡，有可能記憶化搜尋可以用這個最佳化。

——堪嗟誤約乖期，向天涯、自看桃李。

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