基本數論

在這總結下基本數論，其實數論並不是什麼深奧的東西。不過現在討論的是基本數論

一.素數

　所謂素數，就是一個正整數，它除了本身和 1 以外並沒有任何其他因子。素數就好象是正整數的原子一樣，著名的高斯「唯一分解定理」說，任何一個整數。可以寫成一串質數相乘的積。所以這又稱為質數

數論中有兩個關於素數的著名猜想：

1.哥德巴哈猜想：任意一個大於4的偶數必定可以表示為兩素數之和

哥德巴哈猜想有兩個內容，第一部分叫做奇數的猜想，第二部分叫做偶數的猜想。奇數的猜想指出，任何一個大於等於7的奇數都是三個素數的和。偶數的猜想是說，大於等於4的偶數一定是兩個素數的和。”（引自《哥德巴哈猜想與潘承洞》）

2.孿生素數猜想：所謂孿生素數指的就是這種間隔為 2 的相鄰素數，它們之間的距離已經近得不能再近了，就象孿生兄弟一樣。最小的孿生素數是 (3, 5)，在 100 以內的孿生素數還有 (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) 和 (71, 73)，總計有 8 組。

 二. 費馬(Fermat):數論大師
 1.費馬大定理：n>2是整數，則方程x^n+y^n=z^n沒有滿足xyz≠0的整數解。這個是不定方程，它已經由美國數學家證明了(1995年)，證明的過程是相當艱深的！
 2.費馬小定理：若p為素數，a為正整數，那麼一定有a^p≡a(Mod p)
  三：倍數和約數：若a被m整除，則m是a的約數，a是m的倍數   (a/m)
  四：約數個數公式：若任意整數a的標準分解：a=p1^e1*p2^e2*...*pn^en 那麼a的約數的個數為(e1+1)(e2+1)...(en+1)
  五：最大公約數：設a>b，若r≡a(Mod b)，則gcd(a,b) = gcd(r,b) ，符號gcd(a,b)表示a,b的最大公約數，演算法時間複雜度O(logb)
 Code:

1. int g(int a , int b) //遞迴實現  
2. {   
3.     return (b? g(b , a%b ) : a);   
4. }   
5. int g(int a , int b) //非遞迴實現  
6. {   
7.     while (b){ int t = a % b; a = b; b = t; }    //輾轉相除
8.     return a;   
9. }   

六：最小公倍數：lcm(a,b) = a*b/gcd(a,b)
  七：同餘運算基本定理：例子：100-60除以8正好除盡，我們就說100和60對於模數8同餘 =>可以把它寫成 100≡60(mod 8)            a mod 3 = 1 -> a≡1(mod 3) 性質：如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，則a+x≡b+y(mod m)。證明：條件告訴我們，可以找到p和q使得a-mp = b-mq，也存在r和s使得x-mr = y-ms。於是a-mp + x-mr = b-mq + y-ms，即a+x-m(p+r) = b+y-m(q+s)，這就告訴我們a+x和b+y除以m的餘數相同。

    容易想到，兩個同餘式對應相乘，同餘式兩邊仍然相等：

如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，則ax≡by(mod m)。
    證明：條件告訴我們，a-mp = b-mq，x-mr = y-ms。於是(a-mp)(x-mr) = (b-mq)(y-ms)，等式兩邊分別展開後必然是ax-m(...) = by-m(...)的形式，這就說明ax≡by(mod m)。
   八：互素性質：又可以稱為互質,若兩正整數的最大公約數為1，那麼這兩個數為互素關係
 

 九.梅森素數：

對於p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127和257，2p-1都是素數，而對於其它小於257的素數p，2p-1都是合數。今天我們把形如M_p=2p-1的素數叫做梅森素數，M_p中的M就是梅森姓氏的第一個字母