關於微積分學的基本定理

     回顧曆史，1908年，微積分（當時稱為“微積學”）傳入中國，當初國內只有幾個人知曉微積分。解放之後，尤其是在1956年提出“向科學進軍”之後，國內掀起全面學習蘇聯的風潮。當時，蘇聯學者菲赫金哥爾茨撰寫的《微積分學教程》（三卷9本，葉彥謙譯）風行全國，培養出一大批我國新一代數學工作者。我自己也算是那個美好時代的“產物”。

         
作為普通高等學校“十一五”國家級規劃教材的“的典範：《高等數學》（同濟大學）和《數學分析》（複旦大學），都繼承了菲氏《微積分學教程》的衣缽（或理論體系），一脈相承。對於微積分學核心內容的取捨有些偏頗，比如，把牛頓-萊布尼茲最初創立的微積分學基本定理（Theorem）有意淡化，僅稱其”微積分學基本公式“或”牛頓-萊布尼茲公式“(Fomula)。定理與公式的重要性當然不同。

               
1960年，德國數學家A.Robinson創立”非標準分析“，理論嚴謹地恢複了微積分學的曆史原貌，從此，微積分學基本定理的稱謂（或說法）又曆史性地出現了。這個定理集中體現、高度濃縮了微積分學的精華（或核心），提高了人們對微積分學的認識水平。

            
1976年，美國J.Keisler撰寫的《基礎微積分》教材就反映了這一曆史性的變遷。在該教材的袖珍電子書第4.2節（取名為”微積分學基本定理”），今天與大家見面了。這是一個具有曆史性的時刻，值得我們懷念。（註：請搜尋關鍵詞“第4.2節微積分學基本定理”即可。）

             
微積分學基本定理的陳述如下：

FUNDAMENTALTHEOREM OF CALCULUS

Suppose f is continuous on its domain, which is an open interval I.

（i)For each point a in I, the definite integral
of f from a to x considered as a function of x is an antiderivative（反導數）of
f. That is

2. If F is any antiderivative of f, then for any two points (a, b) in I the definite integral of f from a to b is equal to the difference
   F(b) – F (a),

        
微積分學基本定理說明了什麼呢？J.Keisler指出：“The
Fundamental Theorem of Calculus is important for two reasons. First,it shows the relation between the two main notions of Calculus: the derivative, which corresponds to velocity, and the integral, which corresponds to area. It shows that differentiation and
integrationare “inverse” processes. Second, it gives a simple method for computing many definite integrals.”意思是說，該基本定理說明了微分法與積分法是兩個“互逆”過程，而且給出了定積分的簡易計算方法。