實變函數基本理論及其應用

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基本理論

$\bf(Egoroff定理)$設$E$為測度有限的可測集，${f_n}\left( x \right)$為$E$上的可測函數列.

若${f_n}\left( x \right)$在$E$上幾乎處處收斂於$f(x)$，則對任給的$\delta  > 0$，存在${E_\delta } \subset E$，使得$m\left( {E\backslash {E_\delta }} \right) < \delta $，且${f_n}\left( x \right)$在$E_\delta $上一致收斂於$f(x)$

方法一  方法二

$\bf(Lebesgue定理)$

設$E$為測度有限的可測集，${f_n}\left( x \right)$為$E$上的可測函數列，若${f_n}\left( x \right)$在$E$上幾乎處處收斂於$f(x)$，則${f_n}\left( x \right)$在$E$上依測度收斂於$f(x)$

方法一  方法二

$\bf(Riesz定理)$

設${f_n}\left( x \right)$為$E$上的可測函數列，若${f_n}\left( x \right)$在$E$上依測度收斂於$f(x)$，則存在子列$\left\{ {{f_{{n_i}}}\left( x \right)} \right\}$在$E$上幾乎處處收斂於$f(x)$

方法一  方法二

$\bf(Lusin定理)$

設$f\left( x \right)$是可測集$E$上幾乎處處有限的可測函數，則對任給$\delta  > 0$，存在閉集$F \subset E$，使得$m\left( {E\backslash F} \right) < \delta $，且$f\left( x \right)$在$F$上連續

方法一  方法二

$\bf(Lebesgue控制收斂定理)$

設${f_n}\left( x \right)$為$E$上的可測函數列，$F(x)$為${f_n}\left( x \right)$的控制函數且可積，若${f_n}\left( x \right)$在$E$上幾乎處處收斂於$f(x)$，則$f(x)$在$E$上可積，且\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_E {{f_n}\left( x \right)dx}  = \int_E {f\left( x \right)dx} \]

方法一  方法二

$\bf(Levi引理)$設${f_n}\left( x \right)$為$E$上單調遞增的非負可測函數列，若${f_n}\left( x \right)$在$E$上幾乎處處收斂於$f(x)$，則\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int_E {{f_n}\left( x \right)dx}  = \int_E {f\left( x \right)dx} \]

方法一  方法二

$\bf(Fatou引理)$設${f_n}\left( x \right)$為$E$上的非負可測函數列，則\[\int_E {\mathop {\lim }\limits_{\overline {n \to \infty } } {f_n}\left( x \right)dx}  \le \mathop {\lim }\limits_{\overline {n \to \infty } } \int_E {{f_n}\left( x \right)dx} \]

方法一  方法二

$\bf()$

應用

$\bf(連續函數逼近可積函數)$設$f$是$\left[ {a,b} \right]$上的可積函數，則對任意的$\varepsilon  > 0$，存在$\left[ {a,b} \right]$上連續函數$\varphi $，使得\[\int_a^b {\left| {f\left( x \right) - \varphi \left( x \right)} \right|dx}  < \varepsilon \]

方法一  方法二

$\bf()$