Bellman-Ford演算法

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Bellman-Ford演算法是一種單源最短路演算法，允許圖中有負邊權。Bellman-Ford演算法的效率相對較低，但是很容易編寫，也很好理解。比較流行的SPFA演算法其實就是他的隊列最佳化。Bellman-Ford演算法的流程大體是這樣，先將源點的最短路設定為0，將其他結點的最短路設定為inf，然後進行n-1次迭代，每次檢查每條邊進行鬆弛操作，這樣就得到了其他結點的最短路。而且可以檢查是否存在負環，若n次迭代仍然可以進行鬆弛操作，則說明存在負環。不難看出時間複雜度是O(nm)的。怎麼理解Bellman-Ford演算法呢？不妨想想一棵最短路徑樹，根是源點，葉子結點是圖中其他結點，葉子結點到根節點的路徑就是其他結點的最短路。雖然這棵樹一開始我們並不知道什麼樣子，但他是客觀存在的。而Bellman-Ford演算法就是逐層構造這棵最短路樹，假設處理到了第i層，那麼第i-1層已經處理完畢，那麼掃描每一條邊，看是否可以鬆弛，一定可以由第i-1層擴充到第i層。如果把源點看做第0層，那麼這棵樹最多有n-1層，因此迭代n-1次一定可以得到這棵最短路樹（如果存在的話），那麼如果第n次仍然可以進行鬆弛操作，說明不存在最短路（存在負環）。

 1 #include<cstdio> 2 #include<cctype> 3 #include<cstring> 4 const int inf=0x3f3f3f3f; 5 int n,m,s,d[maxn]; 6 struct edge { 7     int u,v,w; 8     edge(int u=0,int v=0,int w=-1):u(u),v(v),w(w) {} 9 } E[maxm];10 bool bellman() {11     memset(d,inf,sizeof(d));12     d[s]=0;13     for(int i=1;i<=n;++i) //迴圈檢查n次，正常情況下最多迭代n-1次，第n次用於判斷是否存在最短路14         for(int i=1;i<=m;++i) {15             int u=E[i].u,v=E[i].v,w=E[i].w;16             if(d[v]>d[u]+w) { //鬆弛操作17                 if(i==n) return false;18                 else d[v]=d[u]+w;19             }20         }21     return true;22 }23 int main() {24     scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);25     int u,v,w;26     for(int i=1;i<=m;++i) {27         scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);28         E[i]=edge(u,v,w);29     }30     if(!bellman()) printf("Wrong!");31     else for(int i=1;i<=n;++i) {32         if(i!=1) putchar(‘ ‘);33         printf("%d",d[i]);34     }35     return 0;36 }

 

Bellman-Ford演算法