Bellman-Ford演算法

 

 

Dijkstra演算法是處理單源最短路徑的有效演算法，但它局限於邊的權值非負的情況，若圖中出現權值為負的邊，Dijkstra演算法就會失效，求出的最短路徑就可能是錯的。這時候，就需要使用其他的演算法來求解最短路徑，Bellman-Ford演算法就是其中最常用的一個。該演算法由美國數學家理查德•貝爾曼（Richard Bellman, 動態規劃的提出者）和小萊斯特•福特（Lester Ford）發明。Bellman-Ford演算法的流程如下：
給定圖G(V, E)（其中V、E分別為圖G的頂點集與邊集），源點s，

·        數組Distant[i]記錄從源點s到頂點i的路徑長度，初始化數組Distant[n]為, Distant[s]為0；

·         
以下操作迴圈執行至多n-1次，n為頂點數：
對於每一條邊e(u, v)，如果Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]，則另Distant[v] =Distant[u]+w(u, v)。w(u, v)為邊e(u,v)的權值；
若上述操作沒有對Distant進行更新，說明最短路徑已經尋找完畢，或者部分點不可達，跳出迴圈。否則執行下次迴圈；

·        為了檢測圖中是否存在負環路，即權值之和小於0的環路。對於每一條邊e(u, v)，如果存在Distant[u] + w(u, v) < Distant[v]的邊，則圖中存在負環路，即是說改圖無法求出單源最短路徑。否則數組Distant[n]中記錄的就是源點s到各頂點的最短路徑長度。

可知，Bellman-Ford演算法尋找單源最短路徑的時間複雜度為O(V*E).

首先介紹一下鬆弛計算。如：

 

 

 

鬆弛計算之前，點B的值是8，但是點A的值加上邊上的權重2，得到5，比點B的值（8）小，所以，點B的值減小為5。這個過程的意義是，找到了一條通向B點更短的路線，且該路線是先經過點A，然後通過權重為2的邊，到達點B。
當然，如果出現一下情況

 

則不會修改點B的值，因為3＋4>6。
 
Bellman－Ford演算法可以大致分為三個部分
第一，初始化所有點。每一個點儲存一個值，表示從原點到達這個點的距離，將原點的值設為0，其它的點的值設為無窮大（表示不可達）。
第二，進行迴圈，迴圈下標為從1到n－1（n等於圖中點的個數）。在迴圈內部，遍曆所有的邊，進行鬆弛計算。
第三，遍曆途中所有的邊（edge（u，v）），判斷是否存在這樣情況：
d（v） > d (u) + w(u,v)
則返回false，表示途中存在從源點可達的權為負的迴路。
 
之所以需要第三部分的原因，是因為，如果存在從源點可達的權為負的迴路。則應為無法收斂而導致不能求出最短路徑。
考慮如下的圖：
 

 

經過第一次遍曆後，點B的值變為5，點C的值變為8，這時，注意權重為－10的邊，這條邊的存在，導致點A的值變為－2。（8＋ －10＝－2）
 
 

第二次遍曆後，點B的值變為3，點C變為6，點A變為－4。正是因為有一條負邊在迴路中，導致每次遍曆後，各個點的值不斷變小。
 
在回過來看一下bellman－ford演算法的第三部分，遍曆所有邊，檢查是否存在d（v） > d (u) + w(u,v)。因為第二部分迴圈的次數是定長的，所以如果存在無法收斂的情況，則肯定能夠在第三部分中檢查出來。比如
 

 

此時，點A的值為－2，點B的值為5，邊AB的權重為5，5 > -2 + 5. 檢查出來這條邊沒有收斂。

 

所以，Bellman－Ford演算法可以解決圖中有權為負數的邊的單源最短路徑問。

 

poj3259

 

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int N = 10010;const int INF = 999999;struct  Edge{    int u;    int v;    int t;} ;Edge edge[N];int num;int n,m,w;int dis[N] ;bool Bellman_ford(){    for(int i = 1; i <= n; i ++)    {        dis[i] = INF;    }    bool flag ;    for(int i = 1; i < n; i++)    {        flag = false;        for(int j = 1; j <= num; j++)        {            if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].t)            {                dis[ edge[j].v ] = dis[edge[j].u] + edge[j].t;                flag = true;            }        }        if( !flag )            break;    }    for(int j = 1; j <= num; j++)        if(dis[ edge[j].v ] > dis[edge[j].u] + edge[j].t)            return true;    return false;}int main(){    int F,a,b,c;    int tt;    cin >> F;    while(F--)    {        cin >> n >> m >> w;        num = 0;        memset(edge,0,sizeof(edge));        for(int i = 1; i <= m; i++)        {            cin >>a >> b >>c;            num ++;       //無向圖            edge[num].t = c;             edge[num].u = a;            edge[num].v = b;            num ++;            edge[num].t = c;            edge[num].u = b;            edge[num].v = a;        }        for(int i = 1; i <= w; i++)        {            cin >> a  >> b >> tt;            edge[++num].t = -tt;            edge[num].u = a;            edge[num].v = b;        }        if( Bellman_ford() )            cout << "YES\n";        else            cout << "NO"<<endl;    }    return 0;}