二分圖的首選（KM 演算法）__演算法

找了標程研究了一下，修改成自己的風格了，貼上來。
 
引用：
KM演算法是通過給每個頂點一個標號（叫做頂標）來把求最大權匹配的問題轉化為求完備匹配的問題的。設頂點Xi的頂標為A[i]，頂點Yi的頂標為B [i]，頂點Xi與Yj之間的邊權為w[i,j]。在演算法執行過程中的任一時刻，對於任一條邊(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始終 成立。KM演算法的正確性基於以下定理：
　　若由二分圖中所有滿足A[i]+B[j]=w[i,j]的邊(i,j)構成的子圖（稱做相等子圖）有完備匹配，那麼這個完備匹配就是二分圖的最大權匹配。
　　這個定理是顯然的。因為對於二分圖的任意一個匹配，如果它包含於相等子圖，那麼它的邊權和等於所有頂點的頂標和；如果它有的邊不包含於相等子圖，那麼它的邊權和小於所有頂點的頂標和。所以相等子圖的完備匹配一定是二分圖的最大權匹配。
　　初始時為了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[i]為所有與頂點Xi關聯的邊的最大權，B[j]=0。如果當前的相等子圖沒有完備匹配，就按下面的方法修改頂標以使擴大相等子圖，直到相等子圖具有完備匹配為止。
　　我們求當前相等子圖的完備匹配失敗了，是因為對於某個X頂點，我們找不到一條從它出發的交錯路。這時我們獲得了一棵交錯樹，它的葉子結點全部是X頂點。現在我們把交錯樹中X頂點的頂標全都減小某個值d，Y頂點的頂標全都增加同一個值d，那麼我們會發現：
兩端都在交錯樹中的邊(i,j)，A[i]+B[j]的值沒有變化。也就是說，它原來屬於相等子圖，現在仍屬於相等子圖。
兩端都不在交錯樹中的邊(i,j)，A[i]和B[j]都沒有變化。也就是說，它原來屬於（或不屬於）相等子圖，現在仍屬於（或不屬於）相等子圖。
X端不在交錯樹中，Y端在交錯樹中的邊(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原來不屬於相等子圖，現在仍不屬於相等子圖。
X端在交錯樹中，Y端不在交錯樹中的邊(i,j)，它的A[i]+B[j]的值有所減小。也就說，它原來不屬於相等子圖，現在可能進入了相等子圖，因而使相等子圖得到了擴大。
　　現在的問題就是求d值了。為了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始終成立，且至少有一條邊進入相等子圖，d應該等於min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交錯樹中，Yi不在交錯樹中}。
　　以上就是KM演算法的基本思路。但是樸素的實現方法，時間複雜度為O(n4)——需要找O(n)次增廣路，每次增廣最多需要修改O(n)次頂 標，每次修改頂標時由於要枚舉邊來求d值，複雜度為O(n2)。實際上KM演算法的複雜度是可以做到O(n3)的。我們給每個Y頂點一個“鬆弛量”函數 slack，每次開始找增廣路時初始化為無窮大。在尋找增廣路的過程中，檢查邊(i,j)時，如果它不在相等子圖中，則讓slack[j]變成原值與A [i]+B[j]-w[i,j]的較小值。這樣，在修改頂標時，取所有不在交錯樹中的Y頂點的slack值中的最小值作為d值即可。但還要注意一點：修改 頂標後，要把所有的slack值都減去d。

#include  < cstdio >
#include  < memory.h >
#include  < algorithm >      //  使用其中的 min 函數
using   namespace  std;

const   int  MAX  =   1024 ;

int  n;                 //  X 的大小
int  weight [MAX] [MAX];         //  X 到 Y 的映射（權重）
int  lx [MAX], ly [MAX];         //  標號
bool  sx [MAX], sy [MAX];     //  是否被搜尋過
int  match [MAX];         //  Y(i) 與 X(match [i]) 匹配

//  初始化權重
void  init ( int  size);
//  從 X(u) 尋找增廣道路，找到則返回 true
bool  path ( int  u);
//  參數 maxsum 為 true ，返回最大權匹配，否則最小權匹配
int  bestmatch ( bool  maxsum  =   true );

void  init ( int  size)
{
     //  根據實際情況，添加代碼以初始化
    n  =  size;
     for  ( int  i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
         for  ( int  j  =   0 ; j  <  n; j  ++ )
            scanf ( " %d " ,  & weight [i] [j]);
}


bool  path ( int  u)
{
    sx [u]  =   true ;
     for  ( int  v  =   0 ; v  <  n; v  ++ )
         if  ( ! sy [v]  &&  lx[u]  +  ly [v]  ==  weight [u] [v])
            {
            sy [v]  =   true ;
             if  (match [v]  ==   - 1   ||  path (match [v]))
                {
                match [v]  =  u;
                 return   true ;
                }
            }
     return   false ;
}

int  bestmatch ( bool  maxsum)
{
     int  i, j;
     if  ( ! maxsum)
        {
         for  (i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
             for  (j  =   0 ; j  <  n; j  ++ )
                weight [i] [j]  =   - weight [i] [j];
        }

     //  初始化標號
     for  (i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
        {
        lx [i]  =   - 0x1FFFFFFF ;
        ly [i]  =   0 ;
         for  (j  =   0 ; j  <  n; j  ++ )
             if  (lx [i]  <  weight [i] [j])
                lx [i]  =  weight [i] [j];
        }

    memset (match,  - 1 ,  sizeof  (match));
     for  ( int  u  =   0 ; u  <  n; u  ++ )
         while  ( 1 )
            {
            memset (sx,  0 ,  sizeof  (sx));
            memset (sy,  0 ,  sizeof  (sy));
             if  (path (u))
                 break ;

             //  修改標號
             int  dx  =   0x7FFFFFFF ;
             for  (i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
                 if  (sx [i])
                     for  (j  =   0 ; j  <  n; j  ++ )
                         if ( ! sy [j])
                            dx  =  min (lx[i]  +  ly [j]  -  weight [i] [j], dx);
             for  (i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
                {
                 if  (sx [i])
                    lx [i]  -=  dx;
                 if  (sy [i])
                    ly [i]  +=  dx;
                }
            }

     int  sum  =   0 ;
     for  (i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
        sum  +=  weight [match [i]] [i];

     if  ( ! maxsum)
        {
        sum  =   - sum;
         for  (i  =   0 ; i  <  n; i  ++ )
             for  (j  =   0 ; j  <  n; j  ++ )
                weight [i] [j]  =   - weight [i] [j];         // 如果需要保持 weight [ ] [ ] 原來的值，這裡需要將其還原
        }
    return sum;
}


int main()
{
    int n;
    scanf ("%d", &n);
    init (n);
    int cost = bestmatch (true);

    printf ("%d ", cost);
    for (int i = 0; i < n; i ++)
        {
        printf ("Y %d -> X %d ", i, match [i]);
        }

    return 0;
} 

/*
5
3 4 6 4 9
6 4 5 3 8
7 5 3 4 2
6 3 2 2 5
8 4 5 4 7
//執行bestmatch (true) ，結果為 29
*/

/*
5
7 6 4 6 1
4 6 5 7 2
3 5 7 6 8
4 7 8 8 5
2 6 5 6 3
//執行 bestmatch (false) ，結果為 21
*/
這個實現和圖論書上描述的有所不同，這個和 匈牙利演算法方法上是一樣的（不斷地尋找增廣道路。。），而不是像書上在過程中調用匈牙利演算法。。